洛必達法則在數學極限問題中的應用

王涵

摘 要：極限的求法是高等數學中一個重要的部分，熟練掌握極限的求法可以解決數學中許多問題。洛必達法則是求極限的一個便捷的方法，其在數學極限中有著重要的作用，且在不同的極限類型中都可以很好的發揮其優勢。本文通過將洛必達法則應用到2種不同的典型極限問題中，得出了洛必達法則在不同極限類型下都具有很好的適用性。反之，本文也分析了洛必達法則在應用過程中的適用條件，并且與其它方法結合在一起會產生更佳的效果。

關鍵詞：洛必達法則；數列極限；函數極限；適用條件

1 引言

極限是數學領域的一個重要知識塊，其是數學分的基礎，數學分析之所以能夠解決許多初等數學中無法解決的問題（例如求解瞬時速度、曲線弧長、曲邊形面積、曲面體的體積等問題），正是由于其采用了極限的無限逼近的思想方法，才可以得到相當精確的計算答案[1]。高等數學中的極限主要分為函數極限與數列極限兩大類，這兩類極限在求解的過程當中具有許多的相似性，并且洛必達法則都可以很便捷的解決這兩種問題。

洛必達法則是求解極限的一個有效工具，該法則的提出極大推進了數學領域中極限的研究，同時解決了數學問題中的許多問題。但是如果僅用洛必達法則求解極限，往往計算會比較繁瑣，有時還無法求解出結果。因此洛必達法則需要與其他方法互相結合，比如提前將非零極限的模塊提取出來以簡化計算、乘積因子用等價替換等等 [2] 。同時若直接用洛必達法則求極限而不對函數進行一定的處理則會陷入一個死胡同。因此在運用洛必達法則時，一定要考慮洛必達法則的適用條件，這樣才能準確有效的得到問題的結果。

本文中分析了零比零（0/0）型極限和無窮大比無窮大（∞/∞）型極限，由于這兩種典型極限可能存在也可能不存在，因此我們把兩個無窮小量或兩個無窮大量之比的極限統稱為不等式極限[3]。因此不能對任何比式極限都按照洛必達法則求解，首先需要區分是不是不等式極限，其次注意其是否滿足洛必達法則的其它條件。在實際問題中，會存在各種形式的極限但是大部分都可以轉化為上述兩大類典型極限，因此在運用洛必達法則之前需要多函數的形式進行適當的處理。

2 正文

2.1 無窮大（小）量與導數

當x趨向于x0的時候，函數f（x）的極限趨于無窮大，正無窮大或負無窮大時，都稱為無窮大量，數學表達式如下：

（1）

由此可以看出，無窮大量不是很大的數，而是具有非正常極限的函數，因此本文通過洛必達法則研究非正常極限。

當x趨向于x0的時候，函數f（x）的極限趨于0，都稱為無窮小量，數學表達式如下：

（2）

基于此，可以得出任何兩個無窮小量的加減運算仍然是無窮小量，無窮小量與有界量的乘積也依舊是無窮小量。

洛必達法則的運用離不開求導的運算。導數是對于某一函數y=f（x），若其在x0點的領域內有意義，且極限

（3）

存在，則上式為f（x）的導數，記為f（x）。

2.2 0/0型不等式極限

若自變量x趨向x0時，函數f（x）與g（x）都趨向于零，且該兩個函數在x0的去心領域內都可導同時g（x）的導數不為0，則有如下等式成立：

（4）

上式中，f（x）與g（x）分別為f（x）與g（x）的一階導數。接下來，通過洛必達法則來求解如下0/0形式例題。

典例1：求解的極限。

當x趨向于1時，分子和分母都趨向于0，并且分母的一階導數在x等于1處不為零，因此滿足洛必達法則的條件，計算過程如下：

（5）

2.3 ∞/∞型不等式極限

當自變量x趨向x0時，函數f（x）與g（x）都趨向無窮大，該兩個函數在x0的去心領域內都可導且g（x）的導數不為0，則有如下等式成立：

（6）

典例2：求解極限

當x趨向于無窮大時，分子和分母都趨向于無窮大，并且分母的一階導數在x趨于無窮是不為零，因此滿足洛必達法則的條件，計算過程如下：

（7）

典例3：求解極限

在此問題中可以看出是兩個項的乘積，不是典型的0/0或∞/∞的形式，因此需要對此多項式進行變型，變成∞/∞的形式，計算過程如下：

（8）

在運用洛必達法則求解問題時往往會遇到許多問題，往往單獨運用洛必達法則求解不出極限。因此通常情況下洛必達法則需要與變量的等價條件結合放在一起使用會產生更好的效果。

3 結果與討論

綜上可以得出，洛必達法則在極限領域的應用特別廣泛，并且可以很便宜的求解出極限的結果。本文將極限問題總結為了兩類大的不等式極限，并且通過典例證明了洛必達法則的適用性，別的類型極限都可以進過一系列變換轉化為0/0或∞/∞的經典形式進行求解。本文也總結出了洛必達法則的適用條件，當極限轉化為典型類型且滿足使用條件之后，可以通過洛必達法則簡便的求解出極限，有時通過一次洛必達法則無法直接求出極限，則需要多次使用洛必達法則，最終求出極限。