微積分在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用

劉付民

摘 要：微積分學(xué)在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科里有著及其廣泛的用處，尤其是在經(jīng)濟學(xué)中。運用微積分知識解決經(jīng)濟學(xué)問題顯得十分便捷，并且微積分模型在經(jīng)濟學(xué)問題的研究中有著越來越大的發(fā)展空間。本文介紹了微積分學(xué)在經(jīng)濟問題中的應(yīng)用，并分別舉例說明，具體闡述微積分學(xué)在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用，以便于更好地解決實際問題。

關(guān)鍵詞：微積分 經(jīng)濟問題 彈性供給

引言

數(shù)學(xué)是一科重要而且極為基礎(chǔ)的學(xué)科，把數(shù)學(xué)的研究思想引入到經(jīng)濟學(xué)里，為經(jīng)濟學(xué)的研究提供了簡便與適用的方法，由計數(shù)、計算對事物變化的觀察中產(chǎn)生。隨著數(shù)學(xué)這個學(xué)科的發(fā)展，數(shù)學(xué)已經(jīng)逐步的深入到各個領(lǐng)域。在經(jīng)濟學(xué)和金融學(xué)等學(xué)科中，數(shù)學(xué)更是發(fā)揮了及其重要的作用[1]。用數(shù)學(xué)理論研究宏觀經(jīng)濟學(xué)、微觀經(jīng)濟學(xué)，用數(shù)學(xué)模型進行風(fēng)險預(yù)測與分析，已經(jīng)越來越普遍。隨著近現(xiàn)代微積分理論的發(fā)展，經(jīng)濟學(xué)也在經(jīng)歷著飛速的變化，微積分是由于生產(chǎn)技術(shù)的進步、經(jīng)濟社會的發(fā)展而產(chǎn)生的。特別是隨著計算機的廣泛應(yīng)用，建立微積分模型來解決經(jīng)濟學(xué)問題，成為了實現(xiàn)高效決策和精確決策的重要途徑。微積分等數(shù)學(xué)知的運用是在經(jīng)濟學(xué)問題的研究中努力的方向和目標(biāo)。

一、導(dǎo)數(shù)在彈性供給問題分析

微積分是微分學(xué)和積分學(xué)的統(tǒng)稱，它的萌芽、發(fā)生與發(fā)展經(jīng)歷了漫長的時期。早在古希臘時期，歐多克斯提出了窮竭法。這是微積分的先驅(qū)，而我國莊子的《天下篇》中也有 “ 一尺之錘，日取其半，萬世不竭 ” 的極限思想，公元 263 年，劉徽為《九間算術(shù)》作注時提出了 “割圓術(shù) ” ，用正多邊形來逼近圓周。這是極限論思想的成功運用。積分概念是由求某些面積、體積和弧長引起的，古希臘數(shù)學(xué)家要基米德在《拋物線求積法》中用究竭法求出拋物線弓形的面積，人沒有用極限，是 “ 有限 ” 開工的窮竭法。但阿基米德的貢獻真正成為積分學(xué)的萌芽。微分是聯(lián)系到對曲線作切線的問題和函數(shù)的極大值、極小值問題而產(chǎn)生的。微分方法的第一個真正值得注意的先驅(qū)工作起源于 1629 年費爾瑪陳述的概念，他給同了如何確定極大值和極小值的方法。需求價格彈性指的是某商品的需求量對其價格變動的反應(yīng)程度。它可以用價格系數(shù)來表示[2]。本小節(jié)主要分析供給彈性問題，其中導(dǎo)數(shù)對供給彈性問題的影響。所謂供給彈性，表示一定時期的一種商品的供給量的相對變動對于該商品的價格的相對變動的反應(yīng)程度[3]。其中，供給彈性是用來表示商品供給量的變動率對于價格的變動率的反應(yīng)程度的。若供給函數(shù)為，則供給價格彈性記做，定義為

影響產(chǎn)品供給彈性的因素有很多，例如當(dāng)增加產(chǎn)品所需消耗的生產(chǎn)要素費用過大時，該產(chǎn)品的彈性系數(shù)較小，反之則較大。此外，生產(chǎn)產(chǎn)品的時間長短也是影響產(chǎn)品供給彈性的因素之一，若短時期內(nèi)廠商只能在固定的廠房設(shè)備下增加產(chǎn)量，此時供給量變化有限，則該產(chǎn)品彈性較小，反之較大。

二、微積分學(xué)在實際問題中的應(yīng)用

1.成本控制問題應(yīng)用

設(shè)已知某廠的邊際成本函數(shù)，假設(shè)該產(chǎn)品產(chǎn)量為2時，平均成本為30，試求：

（1）平均成本函數(shù)；

（2）總成本函數(shù)；

（3）產(chǎn)量為多少時，平均成本最低。

解：由于平均成本是邊際成本的原函數(shù)，所以對邊際平均成本函數(shù)積分便可以得到平均成本函數(shù)，因此有

（1） 已知邊際成本函數(shù)，求總成本函數(shù)。

設(shè)用函數(shù)表示邊際成本函數(shù)，表示平均成本，為產(chǎn)量，為總成本，則

積分學(xué)在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用十分普遍且起到重要作用，尤其是在已知邊際函數(shù)求原函數(shù)的問題中。利用一元函數(shù)積分學(xué)可以方便快捷的求出原函數(shù)，使得經(jīng)濟問題的求解方法更加多樣化。同時，也使數(shù)學(xué)領(lǐng)域中一元函數(shù)積分學(xué)的運用范圍更加廣闊。

2.分期付款問題應(yīng)用

王明是一名大一的學(xué)生，他想兼職并且利用分期付款的方式買一部手機，他了解到：某手機店對他想買的那種型號的手機進行付款銷售。手機的銷售定價是4000人民幣。分期購買時，分期36月，月還款額為150元。銀行貸款信息為，低于5000的貸款，年利率為15%（36月內(nèi)）。試問，該選擇銀行貸款，還是分期付款？

解：

如果貸款，三年還清，那么王明每月要還款

I=P （r（1+r）^N）/（（1+r）^N-1）=4000×（0.05/12×〖1.0125〗^36）/（〖1.0125〗^36-1）≈138.66（元）

這里r=（（0.15）） D12=0.125為月利率。計算結(jié)果表明，王明應(yīng)該以貸款（每月還款139元）而不是分期付款（每月還款150元）的方式來購得他想買的該型號的手機。

3.利潤最大化問題應(yīng)用

某種產(chǎn)品生產(chǎn)件的邊際成本為元，固定成本2000元，又知每件產(chǎn)品的零售價為50元，試求產(chǎn)量為多少時利潤最大？最大利潤值是多少？

解 因為變上限的定積分就是被積函數(shù)的一個原函數(shù)，因此可變成本就是總成本函數(shù)的變化率在上的定積分，又知固定成本為2000元，所以根據(jù)（2.1）有總成本函數(shù)

即產(chǎn)量為125時可獲得的最大利潤為2062.5元。

從以上例子中可以看出，利用定積分研究經(jīng)濟函數(shù)，有助于實現(xiàn)利潤的最大化。

結(jié)語

本文介紹了微積分學(xué)知識在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用。利用微積分學(xué)知識可以對許多經(jīng)濟學(xué)問題進行定量的分析，解決實際經(jīng)濟問題，便于做出選擇和判斷。

參考文獻

[1]沈奇.微積分及其在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用[J].赤峰學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2014，（24）：6-7.

[2]蘇永剛.微積分在經(jīng)濟學(xué)中的運用研究[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2012，（19）：107.

[3]郜欣春，賈仙勤，微分學(xué)在微觀經(jīng)濟學(xué)中的幾處應(yīng)用[J]，科技經(jīng)濟市場，2011，（4）：13-14.