矩的概念在圖像處理中的意義

徐亞超　賈兆棟

摘 要： 本文論述了矩的概念在圖像處理中的意義，首先分析了矩的物理意義，進而分析演算了其數學意義，最終進一步理解矩的圖像意義。分析表明，矩在數字圖像處理和模式識別中的普遍應用均有其嚴謹的物理含義和數學邏輯。

關鍵詞： 矩 物理學 統計學 圖像處理 模式識別

0引言

機器視覺技術的發展是智能化世界到來的強大推手，而機器視覺研究的重點之一是模式識別，高效的提取圖像中的特征信息是模式識別的重點研究課題。本文首先闡述了矩的物理意義，進而分析演算了其數學意義，最后論述了矩在圖像處理中的科學意義。

1物理中的矩

在力學中，矩是表示距離和物理量乘積的物理量，表征物體的空間分布。原則上任何物理量和距離相乘都會產生力矩，質量，電荷分布等。單個點的力矩：，多個點則是積分的空間密度：，如果點表示質量，則第零矩是總質量，一階矩是重心，二階矩是轉動慣量。

2數學中的矩

在統計學中，矩表征隨機量的分布。如一個“二階矩”在一維上可測量其“寬度”，在更高階的維度上由于其使用于橢球的空間分布。其他矩用來描述諸如與均值的偏差分布情況（偏態），或峰值的分布情況（峰態）。實數域的實函數相對于值c的n階矩為：，如果點表示概率密度，則第零階矩表示總概率（即1），1，2，3階矩依次為以下三項。數學中的概念與物理學中矩的概念密切相關。

隨機變量的期望定義為其一階原點矩。在方差等定義中，期望也成為隨機變量的“中心”。隨機變量的方差定義為其二階中心矩：。

歸一化n階中心矩或者說標準矩，是n階中心矩除以標準差，歸一化n階中心矩：，這些歸一化矩是無量綱值，表示獨立于任何尺度的線性變化的分布。

隨機變量的偏態定義為其三階中心矩。需要注意，任何對稱分布偏態為0，歸一化三階矩被成為偏斜度，向左偏斜具有負偏度，向右偏斜分布具有正偏度。一般隨機變量的峰度定義為其四階中心矩與方差平方的比值再減3。峰度表示分布的波峰和尾部與正態分布的區別，完全符合正態分布的數據峰度值為0。混合矩是多個變量的矩，比如協方差，協偏度，協峰度。構建為中心轉換。

3圖像的“不變矩”

在圖像處理中，圖像矩是圖像像素強度的某個特定加權平均（矩）。通過圖像矩得到的圖像的簡單屬性包括面積（或總強度），其質心和關于其方向信息。中心矩在數字圖像處理中可以改寫為：

。

矩不變量不變量本身的唯一矩是中心矩。 通過構造，任意階中心矩相對于平移都是不變的。相對平移和尺度的不變量可以通過適當的縮放零階中心矩陣從中心矩構建：，平移不變量僅僅在中心矩時直接跟隨使用。我們經常提到的Hu矩七個不變矩的構造即是平移、放縮和旋轉不變的。

4結語

一階矩與形狀有關，二階矩顯示曲線圍繞直線平均值的擴展程度，三階矩則是關于平均值的對稱性的測量。不變矩是圖像的統計特性，滿足平移、伸縮、旋轉均不變的不變性。由三階矩以下矩構成的七個矩不變量具有平移、旋轉和尺度不變性等等。

參考文獻：

[1] 王耀明.幾何矩及其幾何矩不變量（英文）[J].上海電機學院學報，2006，2：7-10.

[2] 張偉，何金國.Hu不變矩的構造與推廣[J].計算機應用，2010，9：2449-2452.

作者簡介：一作：徐亞超（1992—），漢，籍貫山東泰安，研究生，山東科技大學，研究方向：機器視覺與模式識別。

二作：賈兆棟（1990—），漢，籍貫山東泰安，研究生，山東科技大學，研究方向：機器視覺與模式識別。