直線問題中的“不可忽視”

李森

摘 要：本文通過一個數學問題的解題過程，探索解題過程中滲透的數學思想與思維方法，數學解題學習對學生鞏固知識、培養素質、發展能力和促進個性心理發展都有著極其重要的作用和意義。數學思維所涉及的不僅有公理、定理、公式、定義等，還有更重要的數學思想和嚴密的推理。讓學生通過解題實踐掌握越來越多的解題模式，積累越來越多的策略經驗，形成嚴密的邏輯思維。

關鍵詞：限制條件 隱含條件 等價轉化 分類討論

一、忽視直線方程形式運用的限制條件

例1 直線L過點P（-2，1），且點A（-1，-2）到L的距離等于1，求直線L的方程。

錯解：設直線L的斜率為k，則L的點斜式方程為y-1=k （x+2），即kx-y+（2k+1）=0，

∵點A（-1，-2）到直線L的距離等于1，∴

∴所求直線方程為4x+3y+5=0.

剖析：由于直線的點斜式方程不包括平行與y軸的直線，所以應該檢查過點P（-2，1）且與y軸平行的直線是否符合條件.

正解：10若直線L的斜率存在，設直線L的斜率為k，則L的點斜式方程為y-1=k（x+2），即kx- y+（2k+1）=0，∵點A（-1，-2）到直線L的距離等于1，

∴ =1，

解得k=- ∴所求直線方程為4x+3y+5=0.

20若直線L的斜率不存在，則L的方程為x=-2，點A（-1，-2）到直線x=-2的距離為│-1-（-2）│=1，符合L的條件.

∴所求直線方程為4x+3y+5=0或x+2=0.

點評：直線的點斜式方程與斜截式方程不包括平行于y軸的直線；直線的兩點式方程不包括平行于坐標軸的直線；直線的截距式方程不包括過原點的直線和平行于坐標軸的直線.所以在用以上四種方程求直線方程時，一定要檢查不被包括的直線是否符合相關條件，以免遺漏.實際上，在解題中，運用有關公式求斜率時，若只求得一解，應反思可能遺漏了斜率不存在的情形.

例2 求過兩直線x+y-1=0和2x-y+4=0的交點，且到原點的距離為 的直線方程.

錯解：設所求直線方程為x+y-1+λ（2x-y+4）=0，

即（2λ+1）x+（1-λ）y+4λ-1=0，

由題意得 = ，

解得λ=- ，故所求直線方程為2x+11y-20=0.

剖析：一般地，方程f1（x，y）+λf2（x，y）=0表示過曲線

f1（x，y）=0與曲線f2（x，y）=0的交點的曲線系，但不包括曲線f2（x，y）=0的所有曲線，上面解法恰好遺漏了直線2x-y+4=0，故用曲線系方程求解時應分類討論，以防忽視特殊情況.本題正確答案應為：2x-y+4=0或2x+11y-20=0.

二、忽視了截距與距離的區別

例3 求過點P（-5，-4）且與坐標軸所圍成的三角形的面積為5的直線方程.

錯解：

設直線方程為 + =1，由題意可得 無解.

剖析：解法中錯把直線在x軸，y軸上的截距當成了距離，直線與坐標軸圍成的三角形的面積為 ，而不是 .易求直線方程為8x-5y+20=0或2x-5y-10=0.

三、判斷位置關系時忽視轉化的等價性

例4 已知兩直線L1：mx+8y+n=0 和L2：2x+my-1=0，試確定m、n 的值，使 L1∥L2.

錯解：由m·m-8×2=0，得m=±4.

剖析：對于兩直線L1：Ax1+B1y+C1=0 和L1：A1x+B1+C1=0，

A1B1-A2B1 =0僅是L1∥L2的必要不充分條件，而L1∥L2的充要條件是A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0（B1C2-B2C1≠0）.事實上，由m·m-8×2=0，得m=±4，又由8×（-1）+（-n）·m≠0，得n≠±2，

所以當m=4，n≠-2或m=-4，n≠2時，L1∥L2.

四、位置關系分析時忽視分類討論

例5 過點P（1，3）作直線L，且點M（2，3），N（4，5）到直線L的距離相等，求直線L的方程.

錯解：由題意知所求直線過點P且與直線MN平行，而kMN=1，故所求直線方程為x-y+2=0.

剖析：解法中對直線L的位置分析時忽視了與直線MN相交的情形，即M，N分別位于直線L的兩側，此時，直線L過線段MN的中點，易求直線L的方程為x-2y+5=0.故所求直線方程為x-y+2=0或x-2y+5=0.

五、忽視問題中的隱含條件

例6 求經過點P（-2，3），且傾斜角是直線3x+4y-5=0傾斜角的一半的直線方程.

錯解：設直線3x+4y-5=0的傾斜角為α，易得tan =3或tan =- ，

故所求直線方程為3x-y+9=0或x+3y-7=0.

剖析：上面的解法沒注意到隱含條件.由tanα=- 知 <α<π，則 < < ，∴tanα=- 應舍去，從而所求直線方程為3x-y+9=0

總之，若能精細地設計思維過程，優先考慮限制條件，注意挖掘隱含條件，不僅能優化解題過程，還能提高正確率。學習中加強對錯誤的反思，能快速提升數學素養。

參考文獻

G.Polya的《怎樣解題》.