最值問題的錯例剖析

張艷

摘 要：最值問題是中學數學中一類重要問題，但有時由于不慎，思路紊亂，導致解題時出現這樣或那樣的錯誤。本文針對這種情況，結合數學教學的實際，歸納整理了求解最值問題中一些常見情況，總結和剖析10類常見的錯誤類型，以供參考。

關鍵詞：定義域 值域 條件

最值問題是中學數學的熱點問題，其解法繁多且靈活多變，而且涉及的知識面頗寬，求解時稍有不慎，極易出現因思路紊亂而導致錯解、誤解的現象，而且某些錯誤又較為隱蔽，不易被人們所察覺。下面分類解析一些常見的錯誤題解，通過展示錯解，剖析錯因，給出正確解答，以達辨別正誤，暴露錯因，提高解題能力的目的。

一、消元時忽視條件的限制致誤。

解二元條件最值問題，常通過消元減少變量，但在消元過程中要注意各變量之間相互制約關系。

例1

設 ，求 的取值范圍。

錯解：

（*）

由| | 1， .

分析：顯然當 時， ，則 矛盾。 是錯的，錯在消元 得到（*）式時，忽視了對剩余元 范圍的限制。

正解：

。

二、換元時忽視變量的范圍致誤

換元前后的變量之間實際上是自變量與因變量的關系，確定換元后的表達式中變量范圍時充分考慮換元前變量范圍的限制。

例2.在曲線 上能否找到一點 ，使 最小。

錯解：

由 ，令

，設 ，有 ，當 時， ，

而 無解，即S無最小值。

分析：

求解中未考慮 的范圍，

為雙曲線 在第一象限內的一支。

正解：

令 ，設 ，有 ， 。

當 時， 。

三、忽視定義域致誤

例3.求函數 的最小值。

錯解1：將原式右邊的x移到左邊，兩邊平方后整理，得 為使關于x的一元二次方程有實數解，必須要有 ，

即 ，故 的最小值為 。

錯解2：令 ，則 ，即 （*），應用判別式 ，即 。故 的最小值為 。

分析：錯解1中變形后“ ”這一限制條件頓時失去，新方程所定義的函數定義域隨之擴大，當 時，取得 ，但原來函數定義域中不存在實數x使 。

錯解2中，在令 時，隱含 ，而（*）式中的t無此條件限制，要使 ，必須 ，但這是不可能的。

正解：令 ，則 ，考慮 ，故 ，當 ，即 時， 的最小值為1.

四、忽視重要不等式中等號成立的條件致誤

例4 已知x為銳角，求函數 的最小值。

錯解：

分析：此解法的錯誤原因在于忽視了基本不等式中等號成立的條件，當 才能取等號。顯然滿足條件的x不存在。 。

正解：

為銳角， ，

，

當且僅當 即 時取等號。

。

五、利用均值不等式解題忽視成立的條件

均值不等式中求最值是一種常用的方法，但要注意“正”、“定”、“等”是均值不等式成立的前提。解題時需考察式子是否具備均值不等式成立的條件，進行適當的拆、添、配、湊等策略進行

求解。

例5.已知 ，求 的最小值。

錯解1： ，當 時取等號。

當 時， 。

錯解2：

（1）即 ，又 （2）故 。

分析1：忽視“積為定值”的條件， 并非定值，因此即使 時， 未必最小。

分析2：忽視等號成立的條件，在（1）中，當 時取等號。在（2）中取等號必須 ，這顯然不可能。

正解：

，

當 時取等號。

六、忽視值域致誤

例6 求函數 的最值。

錯解：

因為 ，

整理得， ，又 ，

有

即 ，故所求函數的最小值為 ，最大值為 。

分析：此解法看似正確。其實不然，將原來函數平方后y的取值范圍隨之擴大。

正解：

原來函數的定義域為 ，顯然 ，故 ，從而函數的最小值為0，最大值為 。

七、方程法求函數值域時忽視檢驗

若函數 是最簡有理分式，則其值域即為 的值域。要注意不等式的變形導致值域的擴大。另外，利用反函數求值域時，不考察對應的法則是否一一對應，忽視反函數的存在性也是一種常見的錯誤。

例7：求函數 的值域。

錯解：

定義域 ，設值域為B， （1）約去 ，得 （2） 。

分析：函數（1）的定義域為 ，函數（2）的定義域為 ，所以（1）與（2）并非同一函數，當然（2）的值域也不一定是（1）的值域，而當x=1時，方程（2）中y=3，但當y=3時，方程（1）的解恰為x=1，而x=1并非（1）的定義域內的值，故（1） （2）變形中值域擴大了。

正解：

從以上分析可知要去掉y=3.所以y的值域為 。

八、濫用函數值域的對稱性而忽視表達式的結構特征。

一般函數的值域都不具備對稱性，而要根據表達的結構特征，分別確定其上限和下限，不能濫用值域的對稱性解題。因此，可通過類比，數形結合，特值否定來消除“值域對稱”的影響。

例8：求函數 的值域。

錯解：

函數 變形為 ，這可看成是 到 兩點的距離差。則 ，當P、A、B在一條直線上時取等號。

分析：顯然函數的定義域不具有對稱性，當 時， 不存在，函數 不成立。

正解：用極限方法求。

當 時，|PA|=|PB|即 ；

當 時，|PA|>|PB|，即 ；

當 時， ； 。

九、盲目利用判別式解題而函數問題的慎密討論。

例9 求 的最大（小）值.

錯解：

令 ，則 。

。

分析：忽視 的條件，因此應討論為：（1） 時， 滿足條件。（2） ， ， ，則轉化為含參數一元一次方程的根的分布問題求解。

正解：

① 在 內僅有一根

② 在 內僅有二根，由 不成立，易得 。 。

另外，此題變形為 ，利用 在 ， 上的單調性可迅速求解。

十、忽視隱含條件致誤

例10 方程 有實根，求實數a的取值范圍。

錯解：方程有實根， 。 。

分析：

忽視隱含條件 ，方程 有負根是方程 有實根的必要而非充分條件。

正解：本題用十字交叉相乘法可得：

。

， ， ，

， ， 。

例11 設 為方程 的兩個實根，當m為何值時， 有最小值。

錯解：

由已知得 ，

則 。

故當 時， 有最小值為 。

分析：此解法中，忽視了已知條件中 ，因此 或 而 不在此范圍，故 不可能是 的最小值。

正解：由上述分析，最小值只能在 或 上取得。當 時， ； 時， 。因此當 時， 的最小值為 。

綜上所述，錯解的原因是多方面的，以上僅歸納十種類型。一般，造成錯解的原因是解題者對某些概念混淆不清，公式、定理掌握不牢，理解不透。基本的方法、技能不能正確、靈活運用所致，同時思維不慎密，缺乏防錯意識也是一個原因。所以只有保持頭腦清醒，認真分析，聯系自己所學知識，才能起到既提高解題速度又保證解題質量的效果。

參考文獻

[1]劉永春.簡析函數最值問題的幾類常見錯誤[J].《中學數學研究》，2000，5.

[2]廖順宏.求解最值問題中常見錯例剖析及教學對策[J].《中學數學研究》，2000，9