切比雪夫不等式及其應(yīng)用

魏汗宸

摘 要：切比雪夫不等式是概率論與數(shù)理統(tǒng)計中的一個重要公式，它不僅在定理證明上有著重要的作用，并且應(yīng)用也非常廣泛。本文將先介紹有關(guān)隨機(jī)變量的理論知識，然后說明切比雪夫不等式在估計隨機(jī)變量取值概率上的應(yīng)用，運(yùn)用其證明切比雪夫不等式大數(shù)定理。

關(guān)鍵詞：切比雪夫不等式 估值 大數(shù)定律

一、基礎(chǔ)理論知識

隨機(jī)變量：

設(shè) 為定義在樣本空間 上的實(shí)值函數(shù)，則稱 為隨變量。若它僅取有限個或可列個值，則稱其為離散型隨機(jī)變量。若它的可能取值充滿數(shù)軸上的一個區(qū)間 ，則稱其為連續(xù)性隨機(jī)變量。[1]

分布函數(shù)：

設(shè) 為隨機(jī)變量，對任意實(shí)數(shù) ，稱：

為隨機(jī)變量 的分布函數(shù)。記為： 。

數(shù)學(xué)期望：

設(shè)離散型隨機(jī)變量 的分布列為 如果： ，則稱： 為離散型隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望。

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 的密度函數(shù)為 ，如果： ，則稱：

為連續(xù)性隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望。[2]

數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)：

對任意常數(shù) ， 。

對任常數(shù) ， .

對任意兩個函數(shù) ，

有 .

方差：

若隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望 存在，則稱偏差平方 的數(shù)學(xué)期望為隨機(jī)變量 的方差，記為 .[3]

對任意常數(shù) ，

對任意常數(shù)

切比雪夫不等式：

設(shè)隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望和方差存在，

則對任意常數(shù) 有：

證明：

依概率收斂：

設(shè) 為一隨機(jī)變量序列， 為一隨機(jī)變量，如果對任意 ，有：

則稱序列 依概率收斂于 。

聯(lián)合分布函數(shù)：

對任意 個隨機(jī)變量 ，以及任意 個實(shí)數(shù) ，記 同時發(fā)生的概率：

稱 為 維隨機(jī)變量 的聯(lián)合分布函數(shù)。

隨機(jī)變量間的獨(dú)立性：

設(shè)維隨機(jī)變量 的聯(lián)合分布函數(shù)為 ， 為 的分布函數(shù)，若對任意 個實(shí)數(shù) ，有：

則稱 相互獨(dú)立。

二、切比雪夫不等式的應(yīng)用

例1：設(shè)隨機(jī)變量 的方差存在，且 ，求 。

證明：

由于 的方差存在，則其期望也存在，設(shè) 的期望為 ，

由于：

，

則：

從而：

于是可得：

從而可得到 幾乎處處為常數(shù) 。

例2 ：在 次獨(dú)立重復(fù)拋擲硬幣中，記拋得正面為成功，要使“拋擲成功的頻率在0.4至0.6”的概率大于等于0.9，問至少要進(jìn)行多少次拋擲？

解：記 表示第i次拋擲硬幣成功， 表示第i次拋擲硬幣失敗

則：

表示n次獨(dú)立重復(fù)拋擲硬幣中拋擲成功的次數(shù)，且由期望和方差的性質(zhì)可得：

要使“拋擲成功的頻率在0.4至0.6”的概率大于等于0.9，即：

從而可得至少要進(jìn)行250次拋擲。

例3：設(shè) 為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，每個隨機(jī)變量的方差存在，且存在共同的上界 。

即滿足： .證明隨機(jī)變量序列 依概率收斂于 .

證明：由于 相互獨(dú)立，從而有：

由切比雪夫不等式可得：

從而可得到：

隨機(jī)變量序列 依概率收斂于 .

結(jié)語

由上只是簡單舉例分析了切比雪夫不等式在證明常數(shù)方差為零，估值，依概率收斂上的應(yīng)用，除了這些，切比雪夫不等式在證明馬爾科夫不等式上也有相應(yīng)的應(yīng)用。這里不再贅述。

參考文獻(xiàn)

[1]茆詩松.概率論與數(shù)理統(tǒng)計簡明教程[M].高等教育出版社，2012.

[2]李念偉.切比雪夫不等式的應(yīng)用[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報，2013（31）：217-217.

[3]霍玉洪.切比雪夫不等式及其應(yīng)用[J].長春工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2012，33（6）：712-714.