中學數學概念的教學研究

摘 要： 數學概念是數學中最基本的內容，是學生認識數學這一門學科的源頭，數學定理和數學公式等都是以此為基礎推導出來的，同時，數學概念也是增強學生邏輯思維能力的必要環節。因此，數學概念教學對于提升教學水平，完成教學目標，有十分核心的作用。

關鍵詞： 中學數學；數學概念；教學研究

一、 數學概念與數學概念的教學

（一） 數學概念的涵義

數學概念構成了數學的基本框架，也是關于數學內容的初步了解。數學概念指的是事物在數量和結構等方面的關系、特點，以大量實踐為基礎，從數學的各個研究角度，歸納總結出數學概念的本質特點。按照其籠統程度將數學概念劃分成描述性概念和定義性概念。其中，描述性概念是說能夠通過觀察而直接得出來的概念。

（二） 數學概念的特性

1. 抽象性與具體性：數學概念的抽象性表現為：第一，當數學概念體現數學內容的本質屬性時，它具有抽象性。例如：我們實際當中并不存在抽象的橢圓，只是能看見一些具體的，如雞蛋、雨花石等。第二，某些數學概念是用特定的符號來規定的，例如：未知數借助符號x表達。第三，某些數學概念是發散思維的結晶，例如：n維線性空間、歐式空間等。

2. 確定性與靈活性：數學概念的確定性指的是有其相對穩定性的一面，這是相對于一個時期，并不是指概念的整個發展階段，因此，我們既要看到數學概念的確定性，也要看到它的靈活性。數學概念的靈活性是說隨著我們對概念的認識加深，數學概念會隨之發生變化。例如：隨著初中階段的實數到高中階段的復數的演化，一元二次方程根的概念也隨之發生了變化。只有更準確的理解概念，才能增強學生的數學水平。

3. 符號化與簡明化：在概述數學概念時，因為文字有時不能很直白的表達概念，并且在描述過程中過于復雜，故用符號進行表示會簡單明了。比如交集符號“∩”、連加符號“∑”、垂直符號“⊥”等等。這些符號既能反映出概念的性質，又能使其表達更加清晰、精確、簡明。

（三） 數學概念教學的意義

1. 數學概念是把握基本知識的關鍵。例如：要想能靈活的利用橢圓的概念來做題，我們先要知道橢圓的定義是什么。即“|F1+F2|=2a的動點p的軌跡”。如果對這些知識沒有一個清晰的認識，就不能準確理解“橢圓”這一概念，也就不能很好的利用性質來處理問題。

2. 數學概念是技能訓練的必要條件。例如：利用方程解答實際題目廣泛應用于在整個數學中，但很多學生不太會用這種方法來解題。要想解決這一問題，在教學中要提高學生思考問題和理解問題的水平，使學生明確認識“方程”這一概念。

（四） 中學數學概念教學的現狀

教師常常在數學概念教學活動中直接給出定義，指出需要注意的地方，然后列舉大量的例子讓學生反復練習，通過多做題使學生加深了對概念的認識。容易導致學生生硬的接受概念，而對概念并沒有什么深入的理解，只是照貓畫虎的進行練習。由于學生對概念的關鍵特征沒有很好地理解，當遇到的問題不能用已學知識解決時，就會計無所出。

二、 中學數學概念課教學的案例研究

（一） “函數單調性”的概念教學

1. 教學內容分析：函數的單調性是函數的主要內容，起著承先啟后的作用。一方面，是高中所學內容的深入，讓學生就函數而言有深刻理解。另一方面，函數單調性為后續內容提供初步認識。

2. 課堂教學設計

（1）創設情境：教師分別作出y=x+2，y=-x+2，f（x）=x2相應的圖，讓學生看當x變化時，f隨之是怎樣變動的？

生：圖1從左向右逐漸上升，y隨x的增大而增大，圖2從左向右逐漸下降，y隨x的增大而減小。師：回答得很正確。圖像變化時，也相應變化函數，我們分為增函數和減函數兩種。問：那么圖3屬于哪種函數呢？

（2）初步探究，形成概念

生：是增函數。生：是減函數。生：既增又減。生：分情況討論。師：好，那么，什么情況下增，什么情況下減呢？

生：函數在區間（-∞，0）上增，在區間（0，+∞）上減。師：不錯。這個函數在對應區間并不是一直單調，而是在相應區間的某個部分上單調。這就說明函數的單調性具有局部性。你們可不可以按照自己的認識，簡單概括增函數和減函數的定義？

生：如果函數f（x）在某個區間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數f（x）在該區間為增函數，如果函數f（x）在定義域上的某個部分隨x的變大，隨之變小，就說函數f（x）在該區間為減函數。師：這種直接通過圖像而得到函數的單調性，屬于感性認識。對單調性理性的認識是：f（x）如果滿足在區域M上，隨x增大y也增大，就稱函數 f（x）在區域M上為增函數，區域M就叫做f（x）的增區間；反之，如果隨x變大y變小，那么就稱f（x）在區域M上是減函數，區域M也相應的稱為f（x）的減區間。

（3）深刻理解概念：怎樣利用等式f（x）=x2得出函數在區間[0，+∞）上是增函數？

生：在給定區間內任取兩個數，例如1和2，因為12<22，所以f（x）=x2在區間[0，+∞）上為增函數。生：用大量數據驗證同樣成立，所以f（x）=x2在區間[0，+∞）上為增函數。師：當x=-1，1，2，3，4，5…，f（x）=1，1，4，9，16，25…也是隨x增大而增大的，能否說f（x）=x2在區間（-1，+∞）是增函數？

生：搖頭。師：有無數個數滿足，并不能說明所有數都滿足。我們無法逐個比較（-1，+∞）的數，所以只能用合適的字母去代替區間內所有的數。

（四） 給出嚴格定義：“函數y=f（x）在區間A內單調，而且MA，如果差值Δx=x2-x1>0，同時當Δy=f（x2）-f（x1）>0時，這時稱函數y=f（x）在區域M上是增函數；當Δy=f（x2）-f（x1）<0時，同樣我們稱函數y=f（x）在區域M上是減函數?！?/p>

3. 課后反思

函數的單調性是很重要的內容，在教學過程中，教師提供了一個良好的討論平臺，并且提出了一系列問題，讓學生自主學習、歸納總結數學概念，這樣更利于他們理解函數單調性這一內容。

參考文獻：

[1]錢小慧.中學數學概念教學研究[D].云南：云南師范大學，2006.

[2]許敏.中學數學概念新授課教學研究[D].上海：上海師范大學，2010.

作者簡介：

雷小玲，天津市，天津師范大學數學科學學院。