關(guān)于二元函數(shù)求極值問(wèn)題的探討

陳康 李明明

摘 要：二元函數(shù)極值問(wèn)題是高等數(shù)學(xué)研究的重點(diǎn)內(nèi)容，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中也存在著一定的難度，因此筆者通過(guò)多年的教學(xué)以及研究，通過(guò)部分例題的舉例來(lái)說(shuō)明二元函數(shù)極值的求解。

關(guān)鍵詞：二元函數(shù)；極值；極值求解

一、 二元函數(shù)極值的相關(guān)定義

如果二元函數(shù)z=f（x，y）在某點(diǎn)P（x0，y0）的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義的話，存在異該領(lǐng)域內(nèi)P（x0，y0）的任一點(diǎn)Q（x，y），都有f（x，y）>f（x0，y0）（或f（x，y）

設(shè)二元函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）處具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)（x0，y0）處存在極值，則有f′x（x0，y0）=0，f′y（x0，y0）=0。并稱能使f′x（x，y）=0，f′y（x，y）=0同時(shí)成立的點(diǎn)（x0，y0）為函數(shù)z=f（x，y）的駐點(diǎn)。從這里可以看出只要函數(shù)存在極值點(diǎn)而且偏導(dǎo)數(shù)等于0，則一定是駐點(diǎn)。如果是駐點(diǎn)，就不一定是極值點(diǎn)了，需要再進(jìn)一步討論。那么該如何討論駐點(diǎn)是不是極值點(diǎn)呢？用極值存在的充分條件進(jìn)行判斷。

設(shè)函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又f′x（x0，y0）=0，f′y（x0，y0）=0，令f″xx（x0，y0）=A，f″xy（x0，y0）=B，f″yy（x0，y0）=C，則f（x，y）在（x0，y0）處是否取得極值的條件如下：

（1） AC-B2>0時(shí)具有極值，且當(dāng)A<0時(shí)有極大值，當(dāng)A>0時(shí)有極小值；

（2） AC-B2<0時(shí)沒(méi)有極值；

（3） AC-B2=0時(shí)可能有極值，也可能沒(méi)有極值，需另作討論。

與一元函數(shù)類似，我們利用函數(shù)的極值求解函數(shù)的最值。如果f（x，y）在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則f（x，y）在D上必定能取得最大值和最小值。這種使函數(shù)取得最大值或最小值的點(diǎn)既可能在D的內(nèi)部，也可能在D的邊界上。假定函數(shù)在D上連續(xù)，在D內(nèi)可微且只有有限個(gè)駐點(diǎn)，這時(shí)如果函數(shù)在D的內(nèi)部取得最大值（最小值），則這個(gè)最大值（最小值）也是函數(shù)的極大值（極小值）。因此，在上述假定下，求函數(shù)最值的一般方法是：將函數(shù)f（x，y）在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D邊界上的最值相互比較，其中最大的為最大值，最小的為最小值?！?br>