關于二元函數求極值問題的探討

陳康 李明明

摘 要：二元函數極值問題是高等數學研究的重點內容，學生在學習過程中也存在著一定的難度，因此筆者通過多年的教學以及研究，通過部分例題的舉例來說明二元函數極值的求解。

關鍵詞：二元函數；極值；極值求解

一、 二元函數極值的相關定義

如果二元函數z=f（x，y）在某點P（x0，y0）的某個領域內有定義的話，存在異該領域內P（x0，y0）的任一點Q（x，y），都有f（x，y）>f（x0，y0）（或f（x，y）

設二元函數z=f（x，y）在點（x0，y0）處具有偏導數，且在點（x0，y0）處存在極值，則有f′x（x0，y0）=0，f′y（x0，y0）=0。并稱能使f′x（x，y）=0，f′y（x，y）=0同時成立的點（x0，y0）為函數z=f（x，y）的駐點。從這里可以看出只要函數存在極值點而且偏導數等于0，則一定是駐點。如果是駐點，就不一定是極值點了，需要再進一步討論。那么該如何討論駐點是不是極值點呢？用極值存在的充分條件進行判斷。

設函數z=f（x，y）在點（x0，y0）的某鄰域內連續且有一階及二階連續偏導數，又f′x（x0，y0）=0，f′y（x0，y0）=0，令f″xx（x0，y0）=A，f″xy（x0，y0）=B，f″yy（x0，y0）=C，則f（x，y）在（x0，y0）處是否取得極值的條件如下：

（1） AC-B2>0時具有極值，且當A<0時有極大值，當A>0時有極小值；

（2） AC-B2<0時沒有極值；

（3） AC-B2=0時可能有極值，也可能沒有極值，需另作討論。

與一元函數類似，我們利用函數的極值求解函數的最值。如果f（x，y）在有界閉區域D上連續，則f（x，y）在D上必定能取得最大值和最小值。這種使函數取得最大值或最小值的點既可能在D的內部，也可能在D的邊界上。假定函數在D上連續，在D內可微且只有有限個駐點，這時如果函數在D的內部取得最大值（最小值），則這個最大值（最小值）也是函數的極大值（極小值）。因此，在上述假定下，求函數最值的一般方法是：將函數f（x，y）在D內的所有駐點處的函數值及在D邊界上的最值相互比較，其中最大的為最大值，最小的為最小值。對于實際問題，如果駐點唯一，且由實際意義知問題存在最值，則該駐點即為最大值點。如果存在多個駐點，且由實際意義知問題存在最大值和最小值，則只需比較各駐點處的函數值，最大的則為最大值，最小的則為最小值。

二、 舉例說明極值求解方法

對于無條件極值問題做題步驟是：（1）先求出駐點；（2）然后用極值的判斷方法進行判斷求解。

對于條件極值問題，要視條件的情況而定，情況1：條件是方程，則可以用拉格朗日數乘法，或者將條件帶入二元函數中轉化為一元函數來求解；情況2：條件是區域，則區域內用無條件極值的方法求解，得到滿足區域內的點，排除區域外的點，區域邊界用情況1的方法求解。

例1：設z=z（x，y）是由x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0確定的函數，求z=z（x，y）的極值點和極值。

此題為無條件極值問題，因此用無條件極值的方法求解，如下：

【解】x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0，對x，y求導，有

2x-6y-2yzx-2zzx=0

-6x+20y-2z-2yzy-2zzy=0（*）

令zx=0

zx=0得方程組x-3y=0

-3x+10y-z=0故解得x=3y

z=y

將上式代入x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0，可得x=9

y=3

z=3或x=-9

y=-3

z=-3

將（*）再分別對x，y求導，有

2-2y2zx2-2（zx）2-2z2zx2=0

-6-2zx-2y2zxy-2zy·zx-2z2zxy=0

20-2zy-2zy-2y2zy2-2zy2-2z2zy2=0

則A=2zx2（9，3，3）=16，B=2zxy（9，3，3）=-12，C=2zy2（9，3，3）=53

故AC-B2=136>0，又A=16>0，從而點（9，3）是z（x，y）的極小值點，極小值為z（9，3）=3。類似地有A=2zx2（-9，-3，-3）=-16，B=2zxy（-9，-3，-3）=12，C=2zy2（-9，-3，-3）=-53

可知AC-B2=136>0，又A=-16<0，從而點（9，3）是z（x，y）的極小值點，極小值為z（-9，-3）=-3。

例2求函數z=f（x，y）=cosx+cosy+cos（x-y）在閉區域D：0≤x≤π2，0≤y≤π2上的最值。

【分析】由于函數f（x，y）在閉區域D上連續，故f（x，y）在D上必存在最大值與最小值。要求最值點，應首先求出D內的可能極值點，其次再求出f（x，y）在D的邊界上的極值點，最后比較大小。

【解析】z′x=-sinx-sin（x-y），z′y=-siny+sin（x-y），z″xx=-cosx-cos（x-y），

z″xy=cos（x-y），z″yy=-cosy-cos（x-y）。令z′x=0，z′y=0，得sinx=-sin（x-y）

siny=sin（x-y），則sinx+siny=0。在D的內部，00，siny>0，故上述方程組在D的內部無解，即D的內部無極值點。從而最值點只能在D的邊界上達到。又當0≤x≤π2時，1≤f（x，0）=f（0，x）=1+2cosx≤3，1≤fx，π2=fπ2，x=2sinx+π4≤2，且f（0，0）=3，f0，π2=1.故f（x，y）在D的邊界上最大值為3，最小值為1.綜上，f（x，y）在D上最大值為3，最小值為1.

三、 結束語

近年來很多學者都在做極值方面的研究，也發現了很多可喜可賀的成果。但是很多學生在二元函數極值問題的討論上仍存在一定的問題，希望本文對學生學習極值的時候有一定的貢獻，幫助學生解決相關問題，供大家學習參考。

參考文獻：

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[2]李安東.多元函數極值和條件的一般判斷方法[J].皖西學院學報，2006（2）.

[3]陳吉美，等.高等數學教學改革研究與實踐[J].湖南理工學院學報，2016，29（4）.

作者簡介：

陳康，李明明，四川省成都市，西南交通大學希望學院。