基于4MAT理論優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)

摘 要：由麥卡錫博士的團(tuán)隊創(chuàng)立的“4MAT理論”的核心是設(shè)計出一種遵循大腦運作的自然規(guī)律和學(xué)習(xí)科學(xué)本質(zhì)的教學(xué)模式，使其適用于不同學(xué)習(xí)風(fēng)格的學(xué)習(xí)者，實現(xiàn)因材施教的高質(zhì)量教學(xué)。任何學(xué)習(xí)都要經(jīng)歷“為什么——是什么——應(yīng)怎樣——該是否”組成的學(xué)習(xí)循環(huán)圈。教師可以通過“創(chuàng)設(shè)情境——形成概念——探討新知——融會貫通”四個環(huán)節(jié)來完成教學(xué)。函數(shù)零點存在性定理是進(jìn)一步理解函數(shù)性質(zhì)的重要內(nèi)容。下面以函數(shù)零點存在性定理的教學(xué)為例，嘗試基于4MAT理論探尋一種適合不同學(xué)習(xí)風(fēng)格者的教學(xué)設(shè)計，以期發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：4MAT；優(yōu)化數(shù)學(xué)；“函數(shù)零點存在性定理”

一、 教學(xué)設(shè)計過程

（一） 創(chuàng)設(shè)情境，回答“為什么”問題

教學(xué)開始時，教師不直接講授新知，而是創(chuàng)設(shè)問題情境讓學(xué)生討論。

問題1 函數(shù)f（x）=lnx+2x-6是否有零點？

上節(jié)課學(xué)過“函數(shù)圖象與x軸有交點等價于函數(shù)有零點”，大部分學(xué)生會想到畫圖象，但又很難畫出函數(shù)圖象。教師追問：我們知道函數(shù)y=x2-2x-3存在零點，它的圖象有什么特征？

設(shè)計依據(jù)與意圖：根據(jù)4MAT理論，此環(huán)節(jié)關(guān)注學(xué)生的直接體驗。通過讓學(xué)生動手畫圖并觀察，激發(fā)其對新舊知識聯(lián)系的好奇心，使學(xué)生了解為什么學(xué)習(xí)新知。

（二） 形成概念，回答“是什么”問題

通過觀察圖象，讓學(xué)生嘗試將函數(shù)圖象的特征用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來。啟發(fā)學(xué)生將零點所在區(qū)間縮小，觀察小區(qū)間內(nèi)的函數(shù)圖象。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)零點所在區(qū)間的端點函數(shù)值都是一正一負(fù)，得到猜想：若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上，有f（a）·f（b）<0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上有零點。這個猜想是否正確？

驗證猜想最好的方法是反例法，函數(shù)f（x）=1x在區(qū)間[-1，1]上有f（-1）·f（1）<0，但在（-1，1）上沒有零點。追問：反比例函數(shù)與二次函數(shù)有什么區(qū)別？在猜想中補(bǔ)充“圖象連續(xù)”，猜想是否成立？經(jīng)過驗證，完善后的猜想正是本節(jié)課要學(xué)習(xí)的函數(shù)零點存在性定理。需要注意的是：函數(shù)在區(qū)間[a，b]上，f（a）·f（b）<0是函數(shù)有零點的充分不必要條件，例如，函數(shù)y=x2雖然存在零點，但并不滿足定理。

設(shè)計依據(jù)與意圖：根據(jù)4MAT理論，此環(huán)節(jié)關(guān)注學(xué)生的抽象感知和反思加工。學(xué)生觀察圖象，并嘗試用數(shù)學(xué)語言表達(dá)新知，可以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。教師在講解新知的過程中，滲透從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，并保持與學(xué)生的互動，使學(xué)生逐漸形成概念。

（三） 探討新知，回答“應(yīng)怎樣”問題

雖然學(xué)生不會繪制問題1中的函數(shù)圖象，但只需在其定義域（0，+∞）上找到一個閉區(qū)間，使區(qū)間端點的函數(shù)值異號，根據(jù)函數(shù)零點存在性定理可得出函數(shù)存在零點。

問題2 函數(shù)f（x）的圖象是連續(xù)曲線，根據(jù)下表判斷函數(shù)在區(qū)間[1，6]上有幾個零點？

x123456

f（x）228-610-4-11

由這個問題學(xué)生會發(fā)現(xiàn)零點存在性定理只能判斷函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)存在零點，但不能判斷零點的個數(shù)，通過幾何畫板作圖，發(fā)現(xiàn)如果函數(shù)f（x）在區(qū)間上具有單調(diào)性，函數(shù)在此區(qū)間上存在唯一零點。也就是說，要在零點存在性定理的基礎(chǔ)上結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，才能判斷出函數(shù)存在幾個零點。

設(shè)計依據(jù)與意圖：根據(jù)4MAT理論，此環(huán)節(jié)關(guān)注問題的解決。教師提出貼合學(xué)生知識基礎(chǔ)的問題，使學(xué)生在演練新知的同時進(jìn)一步理解新知。

（四） 融會貫通，回答“該是否”問題

通過前三個環(huán)節(jié)，學(xué)生已經(jīng)對新知有了自己的獨特理解。教師要給學(xué)生提供實踐和檢驗新知的機(jī)會。

問題3 函數(shù)f（x）=lnx+2x-6在區(qū)間（2，3）上有零點，如何找到這個零點？

利用幾何畫板作圖，發(fā)現(xiàn)函數(shù)在區(qū)間（2，3）內(nèi)存在唯一零點。引導(dǎo)學(xué)生利用環(huán)節(jié)2中縮小區(qū)間的想法，嘗試將區(qū)間進(jìn)一步縮小，遵循原則：將零點所在區(qū)間一分為二，使區(qū)間兩端點值逐漸逼近零點（利用二分法求解方程的近似解）。此時零點存在性定理不再是新知，它成為學(xué)習(xí)“二分法”的基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)者開始將新知化為工具并用到新的學(xué)習(xí)中，正如學(xué)習(xí)循環(huán)圈所說，學(xué)習(xí)的最終結(jié)果是又回到了起點。

設(shè)計依據(jù)與意圖：根據(jù)4MAT理論，此環(huán)節(jié)關(guān)注挑戰(zhàn)和拓展。在學(xué)生掌握新知后，引導(dǎo)其拓寬視野，積極思考“假如……，那該會怎樣？”。具有挑戰(zhàn)性的應(yīng)用可以使學(xué)生更好地掌握知識和創(chuàng)造性地應(yīng)用知識。

二、 結(jié)論

本節(jié)課需要師生的高度配合，一方面為了更好地啟發(fā)引導(dǎo)，整節(jié)課以學(xué)生為主體，學(xué)生也要大膽表述自己的想法和質(zhì)疑；另一方面教師要根據(jù)學(xué)生的能力水平和思維方式存在的差異，提出具有層次性的問題，不斷滲透數(shù)形結(jié)合以及從特殊到一般等數(shù)學(xué)思想，力求發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳彩虹，莊承婷，譯，[美]伯尼斯·麥卡錫，丹尼斯·麥卡錫.自然學(xué)習(xí)設(shè)計：面向不同學(xué)習(xí)風(fēng)格者差異施教[M].福州：福建教育出版社，2012.

[2]章建躍.“方程的根與函數(shù)的零點”的教學(xué)[J].中國數(shù)學(xué)教育，2012：16-18.

作者簡介：

崔加奇，廣西壯族自治區(qū)桂林市，廣西師范大學(xué)。