有關(guān)實(shí)數(shù)完備性的進(jìn)一步研究

摘 要：文章研究總結(jié)了實(shí)數(shù)完備性中的四個(gè)定理，并給出了它們之間的等價(jià)關(guān)系，再結(jié)合之前對(duì)其他基本定理的證明，可以得到實(shí)數(shù)完備性的定理是等價(jià)的，這對(duì)刻畫實(shí)數(shù)完備性具有一定的借鑒意義。

關(guān)鍵詞：完備性；等價(jià)刻畫；循環(huán)證明

一、 引言

實(shí)數(shù)具有很好的性質(zhì)，它是完備的，聚點(diǎn)定理（致密性定理），區(qū)間套定理，柯西收斂準(zhǔn)則，有限覆蓋定理，確界定理，單調(diào)有界定理，為實(shí)數(shù)完備性的六個(gè)基本定理。事實(shí)上，它們是等價(jià)的，結(jié)合之前的證明，本文給出了四個(gè)定理的證明方法，因而用循環(huán)證明的方法給出了六個(gè)定理之間的證明。

首先，簡(jiǎn)單敘述本文提及的實(shí)數(shù)完備性基本定理：

（一） 柯西收斂準(zhǔn)則

事實(shí)上，柯西收斂準(zhǔn)則為數(shù)列an收斂的刻畫提供了理論依據(jù)：對(duì)任意給定的ε>0，如果有正整數(shù)N，當(dāng)n，m>N時(shí)有|an-am|<ε。

（二） 確界原理

如果S為非空數(shù)集，它有上界，那么S一定有上確界；如果S有下界，那么S一定有下確界。

（三） 單調(diào)有界定理

單調(diào)有界數(shù)列（在實(shí)數(shù)系中）一定有極限。

（四） 區(qū)間套定理

假設(shè)an，bn為區(qū)間套，那么存在唯一的點(diǎn)ξ（為實(shí)數(shù)），滿足ξ∈an，bn，n=1，2…即an≤ξ≤bn，n=1，2，…

二、 實(shí)數(shù)完備性基本定理的等價(jià)性證明

結(jié)合之前的證明，本文只需按照下列順序給予剩下三個(gè)定理的證明：首先，本文以單調(diào)有界定理證明區(qū)間套定理，證明確界原理（采用柯西收斂準(zhǔn)則），最后對(duì)單調(diào)有界定理進(jìn)行證明（采用確界原理）。下面，給出證明的方法。

（一） 確界原理的證明（采用柯西收斂準(zhǔn)則證明）

如果數(shù)集S是非空有上界的，又注意到實(shí)數(shù)具有阿基米德性，因此任意一個(gè)正整數(shù)n，都有對(duì)應(yīng)的λn，它是S的上界，但λn-1n不是S的上界。因此存在α′∈S，使α′≥λn-1n，對(duì)每一個(gè)正整數(shù)m，λm為S的上界，故有λm≥α′，因而可得λn-λm<1n，同理λm-λn<1m，即|λm-λn|

因而，對(duì)任意的ε>0，存在N>0，使得當(dāng)m，n>N時(shí)，有|λm-λn|<ε

由柯西收斂準(zhǔn)則可得λn收斂，設(shè)收斂于λ，下證λ為S的上確界。

對(duì)任何α∈S和正整數(shù)n，有α<λn，可知λ是S的一個(gè)上界。又對(duì)任意的δ>0，1n→0（n→

SymboleB@ ），可得對(duì)充分大的n，1n<2δ，λn>λ-δ2，又λn-1n不是S的上界，故存在α′∈S，使得α′>λn-1n。因而可得，λ為S的上確界。

同理可得，假設(shè)S為一個(gè)非空有上界數(shù)集，那么它一定有下確界。

（二） 單調(diào)有界定理的證明（采用確界原理證明）

因?yàn)閷?duì)單調(diào)遞增數(shù)列和單調(diào)遞減數(shù)列的證明原理相同，所以本文假設(shè)an為有上界的遞增數(shù)列。數(shù)列an 滿足確界原理，所以存在上確界，將它記為a=supan。下證a即是an的極限。注意到，任給ε>0，根據(jù)上確界的定義。數(shù)列an 中存在某一項(xiàng)aN，滿足a-ε

a-ε

另一方面，由于a是an 的上界，所以對(duì)任意a。都滿足an≤a

a-ε

這就證明了limn→

an=a。采用相似的方法我們可以證明，如果an 是有下界的數(shù)列，且單調(diào)遞減，那么它一定有極限，并且它的下確界就是極限。

（三） 區(qū)間套定理的證明（采用單調(diào)有界定理證明）

假設(shè)an，bn為區(qū)間套，下面證明存在唯一一點(diǎn)ξ（實(shí)數(shù)），使得ξ∈an，bn，n=1，2…即an≤ξ≤bn，n=1，2，…

顯然，an 單調(diào)遞增并且有界，滿足單調(diào)有界定理的條件，an有極限ξ，并成立

an≤ξ，n=1，2，…（1）

同理可以證明，若數(shù)列bn單調(diào)遞減并且有界，那么它存在極限，再根據(jù)區(qū)間套定理，有下式成立

limn→

結(jié)合在另一篇文章中的證明，本文用循環(huán)法證明了實(shí)數(shù)完備性的六個(gè)基本定理是等價(jià)的，六個(gè)基本定理從不同的角度刻畫了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，在實(shí)際應(yīng)用的過程中，根據(jù)需要的結(jié)果來(lái)選擇基本定理可以簡(jiǎn)化證明和計(jì)算。

作者簡(jiǎn)介：

孫眉，浙江省金華市，浙江師范大學(xué)數(shù)理信息工程學(xué)院。