關注歸納推理所隱藏的思想、能力和本質

吉智深

（南通師范高等專科學校，江蘇 南通 226500）

歸納推理是人們間接認識事物和事物本質屬性的一種重要思想方法，也是一種人人應掌握的科學方法，歸納推理在培養學生創新意識和創新能力方面起著很大的作用。其實，歸納推理中還隱藏著一些思想、方法與本質，需要我們關注，否則歸納推理在教學中的作用就會大打折扣。下面就這些話題，談談筆者的見解與認識。

一、關注歸納推理前涉及的：無影的數學思想

歸納推理是一種重要的思想方法，如果沒有其他所需思想的支持與配合，那么學生對歸納推理可能只知其然，而不知其所以然。

如三角形的面積推導時，教材通過插圖（蘇教版五年級上冊第12頁，參見圖1）提出問題：如何求涂色三角形的面積？（每個小方格表示1平方厘米）

圖1

教材編寫的意圖很明顯，就是引導學生通過歸納發現：兩個完全相同的三角形可以拼成一個平行四邊形。但在教學時，我們還要關注插圖中所給的三角形分別是：直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形。為什么在歸納前，把歸納的對象先分類呢？這是因為歸納推理時，對特例有兩個方面的要求：一是量的要求，需要足夠多的特例，范圍要足夠廣；二是質的要求，需要特例有典型性和代表性，這兩條基本要求是互為依存、缺一不可的。如果只注重量的方面而忽視質的方面，會讓歸納推理得到的規律不具有一般性。事實上，歸納前先分類，再通過具有代表性的特例歸納出一般的規律，這樣的情形不僅出現在三角形面積公式推導的教學過程中，也出現在分數乘法和分數除法算法的歸納推理教學過程中，將來還會出現在其他歸納推理或數學證明中，如正弦定理和余弦定理的公式推導等。

又如釘子板上的多邊形（蘇教版五年級上冊第111頁，參見圖2），求多邊形的面積各是多少平方厘米？每個多邊形邊上的釘子各有多少枚？先數一數、算一算，將結果填入表中，再與同學說說你的想法。

填好表以后，教材提問：

（1）多邊形內只有1枚釘子，它的面積與它邊上的釘子數有什么關系？用字母表示出它們函數關系后，教材繼續提問：

（2）如果多邊形內有2枚釘子，多邊形的面積與它邊上的釘子數又有什么關系？

（3）如果多邊形內有3枚、4枚……釘子，它的面積與它邊上釘子數的關系會怎樣變化？如果多邊形內沒有釘子呢？

圖2

從上面的歸納推理，我們可以發現多邊形的面積既與它邊上的釘子數有關，也與多邊形內的釘子數有關，這是一個二元函數問題。事實上，小學數學有不少多元函數的例子，如：矩形面積等于長乘寬是二元函數；梯形面積等于上底加下底的和再乘高除以2是三元函數。對于涉及多元函數的歸納推理時，教師首先要意識到這是個多元函數問題，雖然我們不能和學生說這是二元函數、那是三元函數，但要做好這種多元函數思想的滲透，也要認識到如何處理涉及多個變量的歸納推理問題。如釘子板上的多邊形這節課滲透這樣的思想：先使其中一個變量固定，即固定多邊形內部的釘子數，當多邊形內部的釘子數為0枚時，1枚時，2枚時，……多邊形面積與多邊形邊上釘子數的關系，再通過歸納推理得到多邊形的面積與多邊形內部的釘子數和多邊形邊上釘子數之間的關系。雖然教材對此沒有做明確的要求，但教師在歸納推理教學前，要意識到這種多元函數，做好這方面的滲透，并且要滲透處理這類多元函數的方法。

我們要在歸納推理前，發現蘊含其中的數學思想，并且深化這些思想，這將會給歸納推理教學乃至整個數學教學帶來積極的影響。

二、關注歸納推理中所需的：無形的概括能力

在歸納推理教學中，教師有時只關注具體的東西，如概念、規律、關系等，而忽視了概括能力的培養，面對一些簡單的規律，學生也無法發現。有趣的乘法計算（蘇教版第三冊第22頁）：

這幾題的乘積會有什么特點？先算一算、填一填，再和同學交流。

積的末兩位是怎樣算出來的？末兩位前面的數呢？

第一個問題，不少學生通過歸納推理順利找到規律，但第二個問題，能發現規律的學生就很少了。為什么？原因可能有二：一是這個規律因為沒有數學表征支持與幫助，單從數字計算中學生很難發現規律；二是學生歸納概括能力不強，對數字的變化不夠敏感。我們可以指責這樣的“簡易算法”對學生來說沒有任何的價值可言，但學生的概括能力不強也是不爭的事實。對于課程標準中的例題，觀察：

15×15=225 25×25=625

35×35=1225 45×45=2025

測試統計表明：能正確地總結“個位是5的兩位數自乘規律”的學生不足9%，在測試現場也觀察到，相當多的學生對已有特例看不出規律。對于這樣的實驗結果，我們不能一味地去找客觀原因，而應該反思歸納教學的目的，歸納推理不能僅僅停留在“簡易算法”，而應該有更高的追求與理想，我們也要反思教學中概括能力的培養與發展問題。事實上，概括能力是重要的能力，蔡金法老師曾指出：“數學概括能力是數學能力的核心。”[1]這種無形的能力不是通過教師“教”出來的，而是學生參與學習活動“悟”出來的，那么怎樣才能提高學生的概括能力呢？

1.歸納推理包括求同法、存異法、同異并用法、剩余法、共變法等，教師要引導學生在理解的基礎上學會這些方法，從而提升他們的概括意識。求同法是指在被研究現象發生變化的若干場合中，若只有一個情況在這些場合中共同具有的，那么這個唯一的共同情況就是被研究現象的原因（或結果），如倒數概念的歸納采用的方法就是求同法，雖然每幾組數字各不相同，但它們的乘積都等于1。共變法是指被研究現象發生變化的各個場合中，如果只有一個情況變化著，其他情況保持不變，那么這個唯一變化的情況就是被研究現象的原因（或結果）。如在釘子板上的多邊形中，多邊形內的釘子數是保持不變的，唯一變化的就是多邊形邊上的釘子數，它的數量變多，是多邊形面積變大的原因。

2.概括能力往往來自于各種數學表征的理解與表達。小學數學應該給學生呈現恰當的數學表征，讓他們學會從中主動歸納出數學規律或者公式，這是教學的需要，也是學習的需求。問題：下圖（參見圖3）所示的乘法表中偶數積多還是奇數積多?[2]

在解決“偶數積多還是奇數積多？”這個問題后，學生還注意到：一個偶數乘一個偶數總是一個偶數時，教師應該鼓勵學生用數學的方法記錄該規律：偶數×偶數=偶數。這會讓他們學會用數學的方法歸納出規律或者公式，也會促使學生尋找同樣類型的其他概括。

圖3

3.養成設置標志、符號、字母對數量和數量關系進行抽象概括的習慣。數學概括的進行和最終結果的表達都必須借助于數學語言，歸納推理要通過數學特例與表征找到歸納對象的共性，并且通過數學語言抽象概括來揭示其本質。乘對加的分配律，先觀察特例：（3+4）×5=3×5+4×5，（6+12）×4=6×4+12×4，（4+7）×7=4×7+7×7，先引導學生用自己的方法概括該等式，（□+○）×△=□×△+○×△，不要小瞧這一步，它是從具體到抽象的中間環節，接著引導學生要字母表示出該等式，最后再要求學生將字母表示的定律“翻譯”成文字表達。

數學概括能力是數學能力的核心，是看不見的數學素養，歸納推理教學要抓住機會，培養學生的數學概括能力，進而促進學生數學能力的發展。

三、關注歸納推理所體現的：無言的數學本質

不同的人從不同的角度對數學本質有不同的理解，數學家們認為，數學證明是數學的本質，因為發現真理、追求真理永遠是數學發展的最終目標，但對歸納在推動數學發展過程中的作用也是一致認可的，因為數學發展史證明，推動數學發展的主要動力是歸納而不是演繹。正如波利亞所說：“用歐幾里得方法提出來的數學看來卻像是一門系統的演繹科學；但在創造過程中的數學看來卻像是一門實驗性的歸納科學。”歸納推理除了體現這一本質之外，還可以體現“數學是研究現實世界的空間形式和數量關系的科學”。除此之外，歸納推理還體現數學的另一本質，即：數學是研究模式的科學。教師雖然不能和小學生做這方面的介紹，但應該通過具體的歸納推理滲透這方面的內容。

“數學是研究模式的科學”這一關于數學本質的定義得到了眾多數學家和哲學家的認可，不同的數學分支研究不同的模式，如算術與數論研究數字與計算模式，幾何學研究形狀模式，邏輯學研究推理模式和概率論研究機會模式等。模式也是學生認識規律并整合自己世界的方法，小學階段的數學教育目標應該對學生理解模式提出具體要求與目標。《美國學校數學教育的原則和標準》一書提出：在學前至二年級，所有學生應該能夠“識別、描述并擴展（例如聲音、形狀或簡單的數字模式等），并能夠把一種表現形式的模式轉化為另外一種表現形式；分析重復型和增長型的模式是如何”。在三至五年級，所有學生應該能夠“描述、擴充與概括有關幾何和數方面的模式；應用文字、表和圖示表征與分析模式和函數”[3]。雖然我國義務階段數學課程標準對這方面的內容沒有明確提出要求，但通過歸納推理教學可以體現與完成這些目標。

1.數數模式

數數模式是數學史上最早的數學模式，它促使自然數的產生。當然我們可以借助數數模式，歸納出自然數更多的性質，如通過使用各種間隔數數在百數圖上使用不同的模式，使學生從視覺上認識到這些數字的特征。如5的倍數有哪些特征,我們就可以發現，5、10、15、20、25、30……，教師引導學生觀察百數圖（參見圖4）上著色的數字構成的視覺模式與5的倍數之間構成一種對應，從而順利地歸納出能被5整除數的特征。

如果以9為間隔，9的倍數在百數圖的排列不是豎條型的，而是斜條型的，但它們的數字和都等于9，從而歸納出100以內的數，如果一個數各數位之和等于9，則它一定能被9整除。

2.重復模式

圖4

學前的孩子已經意識到一個“紅、白、紅、白、紅、白”顏色模式在形式上與一個“站起、蹲下、站起、蹲下、站起、蹲下”動作模式是相同的，到了小學階段學生要了解到這兩種非常不同的情境具備相同的數學性質，并且知道兩種模式都可以被描述為：ABABAB，這樣也有助于了解代數的作用。如果對這種重復模式進一步研究，通過“一一間隔”的物體，歸納出兩邊的物體比中間的物體多一。也可以擴展這種模式，如“紅旗、紅旗、黃旗、黃旗、紅旗、紅旗、黃旗、黃旗……”，通過歸納推理算出第19面旗幟是什么顏色？第20面旗幟是什么顏色？從而把這種重復模式與帶余除法建立起聯系。

3.關系模式

有人說，數學是一門“關系學”，這很有道理。這種關系模式集中體現在函數關系，它是尋求兩種變量之間的依賴關系。這種依賴關系大多數都是通過歸納推理得到的，如多邊形的內角和=(n-2)×180°，這種函數關系給出明確的解析式，當然小學數學有不少沒有明確解析式的函數，也是通過歸納推理得到的，如通過教材所給的圖片（參見圖5）。

歸納出：幾個9就等于幾十減幾個。小學數學中常常有這種沒有解析式的函數關系，需要通過歸納推理發現并且找到這種關系，這一點在教學時也應加以重視。

這種關系模式不僅僅存在于數與代數領域，也存在于圖形與幾何領域。如兩個圖形之間的關系，兩個完全相同的三角形拼成一個平行四邊形，兩個完全相同的梯形拼成一個平行四邊形。教材通過一系列問題引導學生思考幾何圖形之間的關系：拼成平行四邊形的兩個梯形有什么關系？拼成的平行四邊形的底與梯形的上底、下底有什么關系？平行四邊形的高與梯形的高有什么關系？每個梯形的面積與拼成的平行四邊形的面積呢？

圖5

4.機會模式

小學階段的概率主要研究機會模式，從把事件描述成肯定發生、可能發生和不可能發生，再到發生可能性的大小定性研究，最后到可能性的大小定量研究。舉個例子，口袋中有5個白球和1個紅球,那么摸出白球的可能性大呢？還是摸出紅球的可能性大呢？讓學生摸20次、30次甚至更多次,他們發現摸出白球次數多，而摸出紅球的次數少，歸納出從口袋里摸一個球，摸出白球的可能性大，而摸出紅球的可能性小。反過來，如果學生能根據摸出白球與紅球的頻率，就可以猜出袋子里的白球比紅球多的結論，更可以通過紅球出現的頻率判斷口袋中紅球所占的比例，學生們也會根據抽獎盤上不同顏色區域的大小，歸納出中一等獎的機會很小，這些都是歸納推理，都體現了概率是研究機會的模式。

歸納推理教學給教師和學生提供了寶貴的機會，促使學生積極參與“描述、擴充與概括有關模式”，滲透“數學是研究模式的科學”這一數學本質。

總之，數學教學要善于挖掘歸納推理所隱藏的教育價值，借助歸納推理，研究其中蘊含的數學思想——分類與多元函數；提升學生的數學核心能力——概括能力；滲透歸納推理所體現的數學本質——數學是研究模式的科學，從而促進學生對數學的理解，提高他們的數學素養。▲