數學寫作：讓數學不僅意會更可言傳

張志勇

（常州市第五中學，江蘇 常州 213001）

在數學教學中，如何培育學生核心素養？呂傳漢先生提出的“教思考、教體驗、教表達”的教育理念，為我們的實踐指明了方向：“教思考”重在培養學生的數學思維，在“想數學”中學會用數學的思維分析世界；“教體驗”重在促進學生的數學領悟，在“做數學”中學會用數學的眼光觀察世界；而“教表達”則是強化學生的數學交流，在“說數學”中學會用數學的語言表達世界。[1]表達既是數學理解的重要標志，也是從理解到創新的關鍵一步，因思考和體驗而有準確的表達，在表達中產生新的思考和體驗。作為一種表達方式，數學寫作可以幫助學生用自己的語言從不同的角度、有條理地闡述問題解決的思路、發表自己的數學見解，無疑是踐行“三教”理念的重要途徑。

一、數學寫作的界定分類

什么是數學寫作？小到一道數學題的解答分享、數學活動中的故事敘寫，大到發現數學結論、構建數學模型解決現實問題等，都屬于數學寫作的范疇。從20世紀80年代起，我國就有一線教師開展學生小論文的寫作研究，包括數學日志、數學周記、數學詩歌、數學作文、數學小論文等形式。與教師等數學工作者的寫作不同，數學寫作是學生在教師指導下按照特定要求用書面語言創造的文本，以錘煉思維、拓寬視域為目標的數學學習活動；數學寫作關注的是“通過寫作來學習”（Writing-to-learn），為學生對自己的數學學習提供反省、探究、鞏固和發展的機會，使學生對知識的理解得到升華，獲得更好的數學認知結構，同時在數學思想、解題策略等方面也得到系統化；數學寫作，強調有感而發，有話則長、無話則短，更關注的是學生寫了什么，而不是怎么去寫，也就是不過于追求學生作品的形式或者語法。

數學寫作是指學生將自己對數學概念的理解、解題方法的體悟、學習方法的總結等關于數學的思考和體驗整理成文的活動。與口頭表達相區別，數學寫作重在用筆說話、用文字交流，強調的是學生自身的內省審視，通過條分縷析的書面表達為深度學習交流提供載體；數學寫作，反映的是數學的規律性知識，表達的是數學學習故事，傳遞的是數學所感所惑，其中不僅有通俗易懂的文字，還有直觀生動的圖像、言簡意賅的符號等。

不同“寫作角度”下，有著不同的數學寫作分類：如按素材來源，可包括記錄課堂、究錯優化、“故事”啟發、發現發明、數學欣賞、應試策略等[2]；按內容性質，可分為學習感悟、數學文化與科普、數學建模與應用、解題欣賞四類[3]。考慮到數學寫作重在表達數學，本文依據于數學對象的不同，將數學寫作分為概念辨析、探究發現、解題賞析、閱讀分享、學習感悟五類，前三者側重于數學思考，其中概念辨析指向數學概念，探究發現意在數學定理公式，解題賞析則是數學應用；后兩者多是體驗感悟，閱讀分享是他人經驗的分享，學習感悟是自身學習心得的總結。

二、數學寫作的價值認識

在教學實踐中，我們發現很多看起來勤奮刻苦的學生并沒有取得應有的成績，窮其原因，重結果輕過程、重模仿輕理解……讓這些學生的學習停留在淺層次上，埋首于題海中刷題而沒有深度的思考只會導致機械的學習，對數學的理解和解題中“得到正確答案”之間不完全是一回事，于是數學寫作的價值便在于幫助學生反思正在學習的內容：為什么要這樣做？解決問題的邏輯過程是怎樣的？是否存在問題？……當然數學寫作不僅在于提高解題中的“元認知”水平，還在于發展數學知識、成就問題解決、培養反思行為、促進情感流露、加強對話交流等。[4]

1.顯化認知，理解數學

數學寫作首先是學生自己與自己溝通對話的過程，通過寫作將思考和體驗的過程顯性化。學生解題得到問題的正確答案后，可以撰寫解題賞析類文章，闡述解決數學問題的“心路歷程”（包括審題立意、策略選擇、過程組織、錯誤剖析等），對自我的解題活動進行分析評估，可以使學生對知識的理解得到升華，獲得更好的數學認知結構，同時在數學思想方法、解題策略等方面也能得到系統提煉。如有學生總結道，“有時候解完題后再多問幾個為什么，或許會‘別有滋味’，在我們沉浸于‘原來如此’的喜悅同時，可以在解題的思路更新和能力創新方面得到真實的歷練……‘失’的是寶貴的時間（過程很費周章），‘得’的卻是對數學解題滿滿的體驗。”[5]與純粹的數學解題相比，數學寫作關注的是思維過程，通過寫作對原有的思考和體驗過程進行具象化呈現，并在重新審視中產生新的數學思考，正如教學心理學中常提到的“學習如何學習”，這是一個積極主動的元認知策略的監控過程。

2.探尋規律，領悟方法

我們知道，理想的學習狀態應該是舉一反三、觸類旁通，正如蘇霍姆林斯基所言，“教學就是教給學生借助自己已有的知識去獲取新知識的能力”。探究發現類文章的寫作，可以探尋知識本質和數學規律，如動態變化中的不變性；概念辨析類文章的寫作，則幫助學生解釋他們不熟悉的內容；而解題賞析類文章的寫作，則可探索問題的新解法，總結數學研究方法（觀察分析數學事實→提出有意義的數學問題→猜測、探求適當的數學結論或規律→給出解釋或證明）。事實上，寫在紙上的思維可以提供獨特的反饋信息，在分析、比較事實中可以持續深入思考并內化某個重要概念，碎片化的學習感悟在不斷的梳理概括中得以提升，既可熟能生巧亦可形成問題解決范式，從而構建他們自己的學習知識。

3.反思學習，完善評價

每個學生有著自己的數學現實，他們對數學的理解水平，往往很難通過傳統方式（如解題等）進行完整的呈現。通過數學寫作，學生的思考過程、對所學內容的理解、誤解或情感都可以比較清楚地向我們展示。一方面，對于學生而言，數學寫作的過程本身就是一個數學學習的過程，如閱讀分享類寫作，既需要感知閱讀材料的內在邏輯關系，也需要同化順應到自己的知識結構中，還需要以自己的語言解讀概括其中的數學觀念和方法，這本身就是一種高層次的數學學習。反之，作為教師，可以通過學生的寫作了解和評價他們的數學學習水平，包括他們的誤解或者困惑，從而為改善教學提供極大的可能。

4.拓寬視野，激發興趣

學習感悟類寫作，可以為學生分享學習喜悅或者挫折、焦慮創設渠道，通過數學寫作，不良的情緒和學習的壓力得以宣泄，學習的愉悅與成就感、良好的學習情緒得以強化。如當我們讀到王淵超的歌詞，“如果我是雙曲線/你就是那漸近線/雖然我們有緣/能夠生在同一個平面/然而我們又無緣/漫漫長路無交點/為何看不見/等式成立要條件/難到正如書上說的/無限接近不能達到”,《悲傷的雙曲線》躍然紙上，數學的概念在發人深思的意境中得到共鳴。通過寫作，將抽象難懂的數學道理寓于身邊簡單而自然的例子之中，讓精辟的數學思想“隨風潛入夜”、強大的數學方法“潤物細無聲”，而當學生們的優秀作品得以發表或在同伴中交流時，其優秀的敘事能力、數學方法、解法路徑對其他學生的示范作用往往比教師的說教更有影響力和親和力，對被展示的學生來說更是一次極大的激勵。

三、數學寫作的操作路徑

學生不善于寫作是在實踐中碰到的最大問題，數學寫作也不可能是空中樓閣，必須與具體的行動相結合才能真正落地，如組織學生反思總結、討論交流，開展數學閱讀、數學探究活動等，這些都是學生進行數學寫作的源頭活水。事實上，學生寫作能力的培養是一個循序漸進的過程，需要構建機制創設氛圍，讓學生愿意寫；需要尋求路徑提升技術，讓學生寫得出；更需要深入思考錘煉思維，讓學生寫得好。

1.激發表達欲望，讓數學寫作言之有“機”

數學寫作的關鍵在于充分調動學生的寫作熱情，如果在數學課堂中產生了精彩的對話生成，尤其是教師圍繞某個問題的深度點評或學生思維的精準診斷，那么課后就有可能生成很多記錄“課堂故事”、闡述收獲感悟的優秀習作。事實上，討論會點燃學生們思維的火花，對于多數學生而言，口頭交流要比紙筆板演要來得容易些，于是讓學生走上講臺，通過“說題”“課堂表演”等形式闡述解題思路、辨析數學概念就是一種行之有效的教學組織形式。

激發表達欲望以教學民主為前提，讓“學”走上前臺、讓“教”退居其后，以此倒逼學生思考，并通過精彩的鏈接式點評或是精準的診斷評價，促成學生對數學知識的“深刻理解”。學生的寫作能力的培養是一個循序漸進的過程，同樣“知無不言，言無不盡”的討論氛圍也需要慢慢培育，往往對教師駕馭課堂教學提出了更高的要求，我們應該首先厘清學生的學習過程，設身處地弄清學生在這一過程中的起承轉合，何處山重水復，何處柳暗花明，不憤不啟，不悱不發。讓學生投入寫作還需要一定的機制保障，如布置每周一次的數學周記、學習反思等寫作任務（可課堂進行，也可作為課后的替代性作業），以及時記錄“對話教學”下的精彩生成、數學問題探討中的“心路歷程”；挑選優秀數學寫作定期展評，發揮作品的激勵引領作用；課堂教學適當留白，結合案例指導寫作，在切磋過程中獲得真正的提高；組織數學閱讀活動，與大家對話以開闊視野，批判性閱讀以啟迪思維。當然這些機制需要有動態的平衡，以保護學生的寫作興趣和不加重學生負擔為前提。

2.練習寫作技巧，讓數學寫作言之有“徑”

如果學生已經具有一定的寫作技巧并且善于表達自己的數學感受，那么數學概念的理解認識、數學思想方法的領悟應用、數學問題解決的思路闡述（包括解決問題過程中所走的彎路、錯誤的方法）等，都可以成為學生寫作的內容。于是有必要練習寫作技巧，不斷積累數學表達經驗，促進學生用簡潔、準確的語言來表達解決問題思考過程的習慣養成。

練習寫作技巧，行之有效的路徑包括：帶有提示語的寫作，用自己的語言解釋抽象的數學概念，梳理總結公式的意義及應用，闡述解題過程、解題思路或數學思想方法等。[6]除了這些方法外，考慮到數學寫作離不開知識聯想和思維發散，為幫助學生有效提取記憶中的知識儲存，我們在寫作培訓中常采取“斷章取義、表征交流”和“自由回憶、結點連線”的教學策略。

“斷章取義、表征交流”策略主要用于命題研究中，如面對問題“直線l：y=kx+3與圓C：x2+y2-2x-2y-7=0相交于A、B兩點，當點M在弦AB上運動時，總存在滿足PC=3且PM=2的點P，求實數k的取值范圍？”時，首先“斷章取義”，核心條件為“兩變化一存在”（題中下劃線所示）；繼而結合語法分析將條件表征，考察主句“存·在·滿足PC=3且PM=2的點P”，可表征為圖像（如圖1，圓M與圓C有交點P），這樣主句可簡化為“圓M與圓C始終有交點”，加載從句“點M在弦AB上運動”后，問題可轉換為“點C到弦AB的距離不大于1”（如圖2），這樣便可將條件“直線l：y=kx+3與圓C：x2+y2-2x-2y-7=0相交”表征為“d=學生從不同的理解角度進行多維表征，這為學生思路受阻時能夠“主動變換表征形式，調整思維方向”創設提供思維通道，通過交流使數學表達具有條理性和邏輯性。

圖1

圖2

“自由回憶、結點連線”則多見于概念理解時，如在學習函數概念后，可組織學生自由回憶“請你盡量多地歸納出求函數定義域的原則”，也可嘗試在一組概念或命題間按抽象關系或推出關系連線，如在“y=f(x)、y=f(-x)、y=-f(x)、y=-f(-x)、y=f(x-a)、y=A+f(x-a)、y=f(2x)、y=f(kx+b)及其圖像”間連線，學生給出的結論越多說明其知識結構越完善、思維越發散，也更有利于數學表達能力的發展。

當然，培養學生數學寫作能力需要注意依循由易到難、由簡到繁的基本方向。

3.深化數學思維，讓數學寫作言之有“理”

深入思考、言之有物是數學寫作的基礎，我們不僅要關注學生怎么寫，更要關注學生寫什么。沒有深入的思考，就難以真正理解問題，就無法認識學習對象的本質，更感悟不到學科的精神和思想方法；因為對于一個事物沒有完整的、深刻的體驗，要想通過語言、文字加以說明和解釋，其結果就是盲人摸象、管中窺豹。

讓數學寫作言之有“理”，一方面需要擯棄以往教學中過于強調形式化的邏輯推導和形式化結果的弊端，重視數學直觀性背景的創設，在抽象的數學與生動的現實間構建聯系通道，突破數學因高度抽象概括特性而帶來的“難以意會、無法言傳”之障礙；同時重視數學發現過程的展示、數學學習活動的親身體驗，在問題的發現、方法的形成、知識體系的構建過程中，引導學生從“知其然”到“知其所以然”，更有機會思考“何以知其所以然”，從而讓學生感悟蘊含其中的數學思想和數學方法，進而認識數學本質。

圖3

所謂“教之道在于度，學之道在于悟”，我們需要揣著明白裝糊涂，通過不斷的追問，讓學生發現題目的條件、結論中沒有出現的關鍵性質，正確、順暢地表述自己分析和解決問題的思維過程，簡潔、清晰地厘清和表述思路。而當我們的課堂“靈光一閃、猛然醒悟、腦洞大開”成為常見風景時，學生們的表達自會欲罷不能，而優秀寫作也自會躍然紙上。

總之，作為新課程落實提升數學核心素養的有力抓手，數學寫作在數學教學中的應用和學生數學寫作能力的培養還是一個新的課題，許多問題還需要在實踐中去發現和解決。唯有讓我們的課堂真正互動起來，為學生提供深度對話的機會，讓他們有機會充分展示思維的形成和發展過程，數學寫作才能真正言之有“機”、言之有“徑”、言之有“理”！▲