2018年高考全國（I）卷理科第20題解法探究

陳一星

摘 要 2018年高考全國（I）卷理科第20題主要考查了概率與統(tǒng)計中二項分布的性質(zhì)及其應用、排列組合、復合函數(shù)求導、數(shù)學期望、分布列等知識點，同時考查了考生的計算能力、分析理解問題的能力，難度較大，區(qū)分度較高，效度較低，得分率相對較低?？疾榉秶容^全面，知識涉及面廣。本文給出該題的幾種解法，與大家共勉。

關(guān)鍵詞 解法 探究 思路分析

中圖分類號：O123.1 文獻標識碼：A

題目：某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立。

（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為，求的最大值點。

（2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的作為的值。已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用。

（i）若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為，求；

（ii）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？

（1）解法一：

20件產(chǎn)品恰有2件不合格品的概率為

因此

令，得。

當；。

所以的最大值點為

當然也可以只對于求導，或者是后再求導計算。

解法二（均值不等式）：

20件產(chǎn)品恰有2件不合格品的概率為

當且僅當，即時等號成立的最大值點為

（2）由（1）知，。

（i）解法一：

令表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知，，則

，即，

所以

解法二：

設(shè)為200件中不合格數(shù)，，，

因為已經(jīng)檢查出2件為不合格，所以賠償費用的期望為

檢查費用是，所以

解法三：

由一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，那么依次類推一箱產(chǎn)品余下的180件中，應該有18件不合格品，所以賠償費用的期望為

檢查費用是，所以

解法四：

設(shè)為余下180件中每一件產(chǎn)品支付的費用，則的可能取值為0，25

所以余下180件賠償費用的期望為

檢查費用是，所以

解法五：

的可能取值為

所以x的分布列為

解法六：

令表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，的可能取值為

所以

（ii）如果對余下的產(chǎn)品作檢驗，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費為400元。

由于，故應該對余下的產(chǎn)品作檢驗。

以上的幾種解法，從不同的角度出發(fā)來解決問題.試題與去年相比貼近考生，符合師生期望，整體結(jié)構(gòu)較為常規(guī)，內(nèi)容上有所差異。注重考查學生的基本數(shù)學素養(yǎng)，全盤兼顧知識點，以及對理解與分析問題能力的考查，關(guān)注數(shù)學的應用意識與創(chuàng)新意識，除了具有良好的選拔功能，對中學數(shù)學教學也具有很好的導向作用，主要表現(xiàn)在注重基礎(chǔ)，重視數(shù)學素養(yǎng)，加強數(shù)學與應用數(shù)學思維能力的培養(yǎng)。

本題難度系數(shù)較大，考查的知識點較多.考生只要從基礎(chǔ)概念出發(fā)，詳細的分析并理解題目的含義，列出式子，進行計算，也可以得到相應的分數(shù)。由此看來，在中學數(shù)學教學的過程中，落實雙基教學，要注重概念的理解，從概念出發(fā)理解問題，培養(yǎng)學生的分析理解問題的能力，提高學生的計算能力.同時，全面深刻的理解并掌握課本上的內(nèi)容，在理解的基礎(chǔ)上加以記憶，最終才能達到相應的效果.教師在中學數(shù)學教學過程中，教師要對學生加以適當?shù)囊龑?，引導學生靈活運用、理性分析。

參考文獻

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[2] 盛祥耀等.高等數(shù)學[M].高等教育出版社，1985.