數學思想在教學中的運用

徐金鳳

摘 要 數形結合思想，分類討論思想，轉化思想，比較思想，假設，演繹思想等。

關鍵詞 數學思想 教學中的運用

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A

今年，我有幸參加六年級數學教學。經過一年的教學，我發現六年級數學教學和中學教學思維有很大區別。

六年級是中小學的一個過渡階段，也是學生創造性探索學習的起步階段，這就確定了我們總的教學方向——培養學生自主地發現問題，創造性地解決問題的能力。六年級與五年級最大區別是六年級是小學與初中的銜接時段，具有特有的過渡性，這就決定這個階段的教學要兼顧小學基礎的積累和初中能力的提升。從幾何教學內容來看，四至六年級的要求主要是讓學生掌握圖形的變換和位置，而七至九年級就上升到圖形與坐標，圖形與證明。因此，我們在教學時要突出培養學生的發散思維能力。

數學教學的目的不僅要求學生掌握好數學的基礎知識和基本技能，還要求發展學生的能力，培養他們良好的個性品質和學習習慣。在實現教學目的的過程中，數學思想方法對于打好基礎和加深對知識的理解、培養學生的思維能力有著獨到的優勢，它是學生形成良好認知結構的紐帶，是由知識轉化為能力的橋梁。因此，在數學教學中，教師除了基礎知識和基本技能的教學外，還應重視數學思想方法的滲透，注重對學生進行數學思想方法的培養，這對學生今后的數學學習和數學知識的應用將產生深遠的影響。從初中階段就重視數學思想方法的滲透，將為學生后續學習打下堅實的基礎，會使學生終生受益。

所以在初中數學教學中，滲透數學思想很重要。所謂數學思想，是指人們對數學理論與內容的本質認識，它直接支配著數學的實踐活動。所謂數學方法，是指某一數學活動過程的途徑、程序、手段，它具有過程性、層次性和可操作性等特點。數學思想是數學方法的靈魂，數學方法是數學思想的表現形式和得以實現的手段，因此，人們把它們合稱為數學思想方法。以下是初中數學教學應滲透的一些思想方法：

1數形結合思想

一般地，人們把代數稱為“數”而把幾何稱為“形”，數與形表面看是相互獨立，其實在一定條件下它們可以相互轉化，數量問題可以轉化為圖形問題，圖形問題也可以轉化為數量問題。

數形結合在各年級中都得到充分的利用。例如，點與圓的位置關系，可以通過比較點到圓心的距離與圓半徑兩者的大小來確定，直線與圓的位置關系，可以通過比較圓心到直線的距離與圓半徑兩者的大小來確定，圓與圓的位置關系，可以通過比較兩圓圓心的距離與兩圓半徑之和或之差的大小來確定。又如，勾股定理結論的論證、函數的圖象與函數的性質、利用圖象求二元一次方程組的近似解、用三角函數解直角三角形等等都是典型的數形結合的體現。再如，有理數的加法法則、乘法法則，不等式組的解集的確定都是利用數軸或其它實圖歸納總結出來的；實踐與探索中行程問題教學，經常是利用線段圖解的方法來引導學生分析題中的數量關系。例如：八年級上冊課本中有這樣一題：已知一次函數Y=X+m和Y=-X+n的圖像都經過A（-2，3）點，且與Y軸分別交于B、C兩點，求三角形ABC的面積。在解這題時，分別用到代入消元法，把（-2，3）代入，分別求出m=6，n=2，然后再畫出Y=X+m和Y=-X+n的函數圖像，找出A、B、C三點的位置，再利用三角形的面積等于椎讇贅擼瑎？？=4，才能解題。在解題過程中用到了函數思想，數形結合思想。這題對學困生來說比較困難，同時對大多數學生具有一定的挑戰，當他們成功解決問題時，帶來了成功的喜悅，學生有了成就感，就有了自信。

在數學教學中，由數想形，以形助數的數形結合思想，具有可以使問題直觀呈現的優點，有利于加深學生對知識的識記和理解；在解答數學題時，數形結合，有利于學生分析題中數量之間的關系，豐富表象，引發聯想，啟迪思維，拓寬思路，迅速找到解決問題的方法，從而提高分析問題和解決問題的能力。抓住數形結合思想教學，不僅能夠提高學生數形轉化能力，還可以提高學生遷移思維能力。同時，數學中的分類討論思想也屢次出現，鍛煉學生思考問題要從多角度考慮，不能只從一方面去看，因為現實生活中有很多問題都該從多角度看。

2分類討論思想

分類思想方法不是數學獨有的方法，數學的分類思想方法體現對數學對象的分類及其分類的標準。如自然數的分類，若按能否被2整除分奇數和偶數；按因數的個數分素數和合數。又如三角形可以按邊分，也可以按角分。不同的分類標準就會有不同的分類結果，從而產生新的概念。對數學對象的正確、合理的分類取決于分類標準的正確、合理性，數學知識的分類有助于學生對知識的梳理和建構。分類討論即根據教學對象的共同性與差異性，把具有相同屬性的歸入一類，把具有不同屬性的歸入另一類。分類是數學發現的重要手段。在教學中，如果對學過的知識恰當地進行分類，就可以使大量紛繁的知識具有條理性。

如，在同一個圓中，一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半。為了驗證這個猜想，教學時常將圓對折，使折痕經過圓心和圓周角的頂點，這時可能出現三種情況：（1）折痕是圓周角的一條邊，（2）折痕在圓周角的內部，（3）折痕在圓周角的外部。驗證時，要分三種情形來說明，這里實際上也體現了分類討論的思想方法。還有，對三角形全等識別方法的探索，教材中的思考題：如果兩個三角形有三個部分（邊或角）分別對應相等，那么有哪幾種可能的情況？同時，教材中對處理幾種識別方法時也采用分類討論，由簡到繁，一步步得出，教學時要讓學生體驗這種思想方法。

轉化思想在中學階段也經常用，我認為它是化繁為簡，化難為易，化未知為已知，化高次為低次等來解決問題的一種思想方法。在教學中也常常用到。

3轉化思想

轉化思想是數學思想方法體系的主梁之一。在實數的運算、解方程（組）、多邊形的內角和、幾何證明等等的教學中都有讓學生對轉化思想方法的認識，學生有意無意接受到了轉化思想。如已知（x+y）2=11，xy=1求x2+y2的值，顯然直接代入無法求解，若先把所求的式子轉化到有已知形式的式子（x+y）2-2xy，則易得：原式=9；又如“多邊形的內角和”問題通過分解多邊形為三角形來解決，這都是轉化思想在實際問題中的具體體現。再如解方程（組）通過“消元”、“降次”最后求出方程（組）的解等也體現了轉化思想；轉化思想是解決數學問題的一種重要思想方法。轉化的手段是多種多樣的，其最終目的是將未知的問題轉化為已知問題來解。實現新問題向舊問題的轉化、復雜問題向簡單問題轉化、未知問題向已知問題轉化、抽象問題向具體問題轉化等。如在加法的基礎上，利用相反數的概念，化歸出減法法則，使加、減法統一起來，得到了代數和的概念；在乘法的基礎上，利用倒數的概念，化歸出除法法則，使互逆的兩種運算得到統一。又如，對等腰梯形有關性質的探索，除了教材中利用軸對稱方法外，還經常通過作一腰的平行線、作底邊上的高、延長兩腰相交于一點等方法，把等腰梯形轉化到平行四邊形和三角形的知識上來。

除此之外，很多知識之間都存在著相互滲透和轉化：多元轉化為一元、高次轉化為低次、分式轉化為整式、一般三角形轉化為特殊三角形、多邊形轉化為三角形、幾何問題代數解法、恒等的問題用不等式的知識解答……

4比較思想

所謂比較，就是指在思維中對兩種或兩種以上的同類研究對象的異同進行辨別。比較是一切理解和思維的基礎，隨著學習的不斷深入，學生要掌握越來越多的知識，這就要求學生要善于比較知識之間的區別和聯系。

例如，在因式分解的教學中，通過復習整式乘法，讓學生比較這兩種運算的異同，明確因式分解與整式乘法是恒等變形，又是互逆運算。如（a+b）（a-b）=a2-b2是整式乘法，a2-b2=（a+b）（a-b）是因式分解。在不等式的解法教學時，可以對比一元一次方程解法：去分母、去括號、移項、合并同類項、化系數為1這些步驟是一樣的。當然，要特別比較化系數為1時兩者的不同之處。又如，全等三角形是相似三角形在相似比為1時的特例，兩個三角形相似和全等有它特定的內在聯系，因此，全等三角形的識別方法可以類比相似三角形的識別方法。再如，軸對稱圖形、旋轉對稱圖形、中心對稱圖形是意義不盡相同的概念，通過類比可以發現它們之間的異同，從而加深對這幾個概念的本質屬性的認識。

5假設思想

假設思想是一種常用的推測性的數學思考方法。利用這種思想可以解一些填空題、判斷題和應用題。有些題目數量關系比較隱蔽，難以建立數量之間的聯系，或數量關系抽象，無從下手。可先對題目中的已知條件或問題作出某種假設，然后按照題中的已知條件進行推算，根據數量出現的矛盾，最后找到正確答案的一種思想方法。假設思想是一種有意義的想象思維，掌握之后可以使得要解決的問題更形象、具體，從而豐富解題思路。

6演繹思想

演繹也是理智的活動，但是和直觀不同，它們不是理智的單純活動，必須先假定了某些真理（或定義）之后，然后再憑借這些定義推出一些結論。譬如：我們知道了三角形的定義和定理之后，可以推出一個三角形內角的總和等于兩直角之和。所以直觀的功用是在于提供科學和哲學的最新原則。而演繹則是應用這些原則來建立一些定理和命題。演繹并不要求像直觀所擁有的那種直接呈現出來的證明，它的確實性在某種程度上可以說是記憶賦予它的。它通過一系列的間接論證就能得出結論，這就像我們握著一根長鏈條的第一節就可以認識它的最后一節一樣。這就是說，直觀是發明的基本原則，演繹是導致最基本的結論。不過也有哲學家認為演繹是有缺陷的，因為由同一個原則往往會演繹出不同的結論，所以應當有另一個方法來糾正它。這個糾正的方法就是經驗，即所謂的訴諸事實。總之，直觀就是找到最簡單、最無可懷疑、最無須辯護的人類知識元素，即發現最簡單和最可靠的觀念或原理。然后對它們進行演繹推理，導出全部確實可靠的解決方案。例如數學定理證明就是一種演繹推理。

總之，數學思想有利于學生成長，從多方面鍛煉一個人的思維。在教學中，要多運用。因為數學來源于生活，又服務于生活。在數學教學中，只要切切實實把握好上述幾個典型的數學思想，同時注意滲透的過程，依據課本內容和學生的認知水平，從七年級開始就有計劃的滲透，就一定能提高學生的學習效率和數學能力。