《拉格朗日乘數(shù)法及其在實(shí)際問題中的應(yīng)用舉例》微課教學(xué)設(shè)計(jì)

王艷艷　滕毓發(fā)

摘 要 首先通過實(shí)際問題引入條件極值，然后通過對引例的極值點(diǎn)的幾何特征進(jìn)行了探究，得到在極值點(diǎn)處目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù)的梯度平行，并在一般情形下進(jìn)行了理論分析，基于梯度推導(dǎo)出拉格朗日函數(shù)，把條件極值轉(zhuǎn)化為無條件極值，最后利用拉格朗日乘數(shù)法解決實(shí)際問題。

關(guān)鍵詞 梯度 拉格朗日乘數(shù)法 條件極值

中圖分類號：O29 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

《拉格朗日乘數(shù)法及其在實(shí)際問題中的應(yīng)用舉例》微課，筆者在2017年全國高等數(shù)學(xué)微課大賽中獲得了華東賽區(qū)一等獎(jiǎng)，本次課以問題為牽引，學(xué)員為主體，重在啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)員發(fā)現(xiàn)、分析并解決問題，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)員嚴(yán)謹(jǐn)、細(xì)致、創(chuàng)新的思維品質(zhì)。現(xiàn)將教學(xué)過程呈現(xiàn)如下：

【應(yīng)用引入】 如今網(wǎng)絡(luò)購物正以迅雷不及掩耳之勢影響著我們的生活，作為理性消費(fèi)者，在條件許可的范圍內(nèi)如何追求效用最大化；再比如在選擇材料設(shè)計(jì)空間探測器時(shí)，如何計(jì)算飛行器的最高溫度？我們都可以使用拉格朗日乘數(shù)法來解決。

引例：如果矩形的對角線為2，則矩形的最大面積為多少？

分析：求函數(shù)最大值。條件：點(diǎn)必須在對角形曲線上。

1問題提出

條件極值的一般形式：約束條件：

問題：如何求得極值？

2問題分析

引例：

首先畫出對角線方程的曲線，當(dāng)點(diǎn)P沿四分之一圓周運(yùn)動時(shí)，對應(yīng)面積不同的取值，實(shí)際上這些雙曲線就是函數(shù)的等值線。通過觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)：在圓周與等值線的交點(diǎn)處對應(yīng)的函數(shù)值，顯然比切點(diǎn)處對應(yīng)的函數(shù)值2要小，而比2大的等值線上的點(diǎn)卻不在圓周上。所以，切點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值就是面積的極大值，極值點(diǎn)就是切點(diǎn)！

在點(diǎn)等值線與圓周相切，從而等值線的法向量與圓周的法向量平行，也即它們梯度在極值點(diǎn)平行！那么這一結(jié)論是否適用于一般的條件極值問題呢？

考察在約束條件下，在點(diǎn)處取得極值的必要條件。

假設(shè)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)，和均有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，也即他們對應(yīng)的曲線都是光滑的，，由此可以確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，把它代入目標(biāo)函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為求解這樣一個(gè)一元函數(shù)在點(diǎn)取得極值的必要條件。從而在處的導(dǎo)數(shù)等于0，而是復(fù)合函數(shù)，由鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則

這個(gè)式子相當(dāng)于這樣兩個(gè)向量的數(shù)量積等于0，它表示在極值點(diǎn)，f的梯度與約束條件的切向量垂直，的梯度也與切向量正交，所以f的梯度與的梯度平行，說明這個(gè)結(jié)論對于一般條件極值問題也是成立的！

那么如何求解函數(shù)的極值點(diǎn)呢？從這個(gè)結(jié)論出發(fā)，我們繼續(xù)進(jìn)行探究：兩個(gè)向量平行的充分必要條件是什么呢？存在，使得的梯度等于乘以的梯度，為什么加一個(gè)負(fù)號呢？

我們把等式右邊移到等式左邊，再利用梯度算子的性質(zhì)，式子可以寫成在的梯度等于0向量。如果前面比例常數(shù)是，這里就會出現(xiàn)，所以我們在前面加了一個(gè)負(fù)號。由此構(gòu)造輔助函數(shù)： ，它在極值點(diǎn)的梯度等于0向量，那么極值點(diǎn)一定L對x的偏導(dǎo)數(shù)等于0，L對y的偏導(dǎo)數(shù)等于0的這兩個(gè)方程，同時(shí)也滿足=0，那么方程組解出的就是可能的極值點(diǎn)，也即駐點(diǎn)。

由此引出Lagrange乘數(shù)法，并介紹數(shù)學(xué)家拉格朗日的故事，激勵(lì)學(xué)員勇于克服困難。

最后介紹拉格朗日乘數(shù)法的一個(gè)應(yīng)用：某衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射一空間探測器，探測器表面的方程為，由于空氣摩擦，發(fā)射后，其表面開始受熱，一小時(shí)后其表面溫度為。求此時(shí)探測器表面最熱的點(diǎn)。最后請學(xué)員總結(jié)拉格朗日乘數(shù)法解決問題的步驟，并給出思考題：某野外景區(qū)發(fā)生旅游者失蹤事故，根據(jù)旅游失蹤人員最后出現(xiàn)或與搜索人員練習(xí)的時(shí)間地點(diǎn)特征，以及旅游者移動速度，確定了五個(gè)區(qū)域，請問：如何在多種搜索資源限制下，求出找到失蹤人員的最大概率？

參考文獻(xiàn)

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[2] 張帆，劉穎.基于最優(yōu)搜索理論的失蹤旅游者搜救模型研究[J].世界科技研究與發(fā)展，2008，30（02）：93-95.