連續(xù)管復(fù)合裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子有限元分析*

管 鋒，王 振，劉少胡, 楊明合

(1.長(zhǎng)江大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，湖北 荊州 434023；2.長(zhǎng)江大學(xué) 石油工程學(xué)院，湖北 武漢 430100)

0 引言

經(jīng)過(guò)50多年的發(fā)展，連續(xù)管已經(jīng)應(yīng)用于清蠟、酸化擠水泥、壓井、沖砂洗井、負(fù)壓射孔、試井測(cè)井完井、鉆井等20多種作業(yè)[1]。截止到2017年年底，全球范圍內(nèi)的連續(xù)油管作業(yè)機(jī)共有1 955臺(tái)[2]。雖然連續(xù)管的應(yīng)用已趨近成熟，但連續(xù)管在作業(yè)過(guò)程中還是經(jīng)常會(huì)發(fā)生低周疲勞斷裂事故[3]。這是由于連續(xù)管在生產(chǎn)應(yīng)用過(guò)程中，焊縫和缺陷部位會(huì)產(chǎn)生應(yīng)力集中，裂紋會(huì)不可避免的出現(xiàn)，一旦裂紋擴(kuò)展導(dǎo)致結(jié)構(gòu)斷裂，就會(huì)發(fā)生低周疲勞斷裂，給連續(xù)油管作業(yè)帶來(lái)巨大經(jīng)濟(jì)損失。相關(guān)研究表明[4]，應(yīng)力強(qiáng)度因子是評(píng)判含裂紋構(gòu)件是否斷裂及裂紋擴(kuò)展速率的重要參量，因此，正確計(jì)算裂尖應(yīng)力強(qiáng)度因子能夠提高連續(xù)管低周疲勞斷裂事故的預(yù)防能力，從而實(shí)現(xiàn)高效率的連續(xù)管作業(yè)。

目前，計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子的方法有解析法[5]、邊界配位法[6]、有限單元法[7]、權(quán)函數(shù)法、復(fù)變函數(shù)法[8]、擴(kuò)展有限元法[9-12]等，由于有限單元法、擴(kuò)展有限元法的計(jì)算結(jié)果相對(duì)精確，易于獲得，所以，一般采用有限單元法、擴(kuò)展有限元法計(jì)算復(fù)合裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子。而相比于有限單元法，擴(kuò)展有限元法具有裂紋擴(kuò)展過(guò)程中無(wú)需重新劃分網(wǎng)格、裂尖不需要加密、使用同樣的網(wǎng)格、不存在數(shù)據(jù)傳遞問(wèn)題等優(yōu)點(diǎn)[13-17]。基于這些優(yōu)點(diǎn)，本文利用XFEM對(duì)連續(xù)管進(jìn)行數(shù)值模擬研究。當(dāng)前，對(duì)二維平面的Ⅰ型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的研究很多[18]，而對(duì)復(fù)雜三維模型，例如厚壁圓筒型的Ⅱ型裂紋和Ⅲ型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子研究相對(duì)較少。本文基于ABAQUS軟件平臺(tái)的XFEM功能，研究了裂紋角度對(duì)CT80連續(xù)管Ⅰ型裂紋、Ⅱ型裂紋和Ⅲ型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響。

1 應(yīng)力強(qiáng)度因子求解的基本理論與方法

根據(jù)構(gòu)件的受力方式，可以將裂紋分為Ⅰ型裂紋(張開(kāi)型)、Ⅱ型裂紋(滑移型)、Ⅲ型裂紋(反平面剪切型)等3種類型，如圖1所示。

圖1 3種類型的裂紋Fig.1 Three types of cracks

在進(jìn)行裂紋分析時(shí)，應(yīng)力強(qiáng)度因子K，J積分、能量釋放率G等是斷裂參量的幾種重要數(shù)值計(jì)算方法，由于J積分、能量釋放率G等數(shù)值計(jì)算方法相對(duì)繁瑣和復(fù)雜，用來(lái)分析裂紋擴(kuò)展問(wèn)題并不方便；而應(yīng)力強(qiáng)度因子理論已經(jīng)相當(dāng)成熟且準(zhǔn)確。因此，本文在分析CT80連續(xù)管的裂紋擴(kuò)展問(wèn)題時(shí)，采用應(yīng)力強(qiáng)度因子K的數(shù)值計(jì)算方法。可將CT80連續(xù)管的裂紋抽象為三維模型，其三維裂紋模型裂尖尖端的坐標(biāo)如圖2所示。

圖2的三維裂紋模型中，局部直角坐標(biāo)系由坐標(biāo)分量X，Y，Z和O構(gòu)成，XOZ為裂紋尖端的水平平面，YOZ面為切平面，XOY面為法平面；局部極坐標(biāo)系由坐標(biāo)分量r和θ構(gòu)成，r和θ分別是極坐標(biāo)下計(jì)算點(diǎn)的半徑與角度。裂紋尖端區(qū)域應(yīng)力場(chǎng)的位移表示如下[19]：

圖2 三維裂紋前緣任意一點(diǎn)的坐標(biāo)值及位移場(chǎng)Fig.2 Coordinate value and displacement field of any point at the front edge of 3D crack

(1)

式中：μ，ν，w分別對(duì)應(yīng)的是裂紋尖端在X，Y，Z方向的位移，mm；r是極坐標(biāo)下計(jì)算點(diǎn)的半徑，θ是極坐標(biāo)下計(jì)算點(diǎn)的角度，(°)；G為剪切模量，MPa；KⅠ，KⅡ和KⅢ分別為Ⅰ型裂紋、Ⅱ型裂紋和Ⅲ型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子，MPa·mm1/2；o(r)為高階無(wú)窮小量。k的取值如式(2)所示。

(2)

當(dāng)裂紋區(qū)域內(nèi)的一點(diǎn)θ=±180°，且位移r已知時(shí)，可以得到對(duì)稱裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算公式：

(3)

式中：K為總應(yīng)力強(qiáng)度因子，MPa·mm1/2。

2 應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算

選取的模型為CT80連續(xù)管，查閱連續(xù)油管工程技術(shù)手冊(cè)[20]可知其材料力學(xué)性能參數(shù)，如表1所示。CT80管的外徑為38.10 mm，壁厚分別為2.77 mm，截取的長(zhǎng)度為100 mm。

CT80連續(xù)管的網(wǎng)格及裂紋位置及形狀如圖3所示，裂紋處于模型的中心，裂紋與XOY面的夾角為0°，裂紋長(zhǎng)度為1/12圓周，裂紋寬度分別設(shè)定為0.25，0.50，0.75，1.00，1.25，1.50和1.75 mm。對(duì)模型一端分別施加50，100，150，200，250和300 MPa的均勻拉力。

表1 常溫下CT80連續(xù)管的力學(xué)性能Table 1 Mechanical properties of CT80 coiled tubing at room temperature

圖3 CT80連續(xù)管有限元模型及裂紋形狀 Fig.3 Finite element model and crack shape of CT80 coiled tubing

查閱應(yīng)力強(qiáng)度因子手冊(cè)[21]，可以根據(jù)公式計(jì)算厚壁圓筒型模型的應(yīng)力強(qiáng)度因子，其計(jì)算公式如下：

(4)

式中：σ0是裂紋面上的平均應(yīng)力，MPa；σ是遠(yuǎn)處均勻拉伸應(yīng)力，MPa；Rm為連續(xù)管平均半徑，mm；t為連續(xù)管的壁厚，mm；α為裂紋寬度，mm；KL為應(yīng)力強(qiáng)度因子手冊(cè)得到的應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算解，MPa.mm1/2；B為形狀修正系數(shù)。

為了驗(yàn)證ABAQUS中裂紋擴(kuò)展的準(zhǔn)確性，計(jì)算了裂紋寬度及裂紋所受載荷變化時(shí)，裂尖應(yīng)力強(qiáng)度因子的變化，并與應(yīng)力強(qiáng)度因子手冊(cè)得到的計(jì)算解進(jìn)行比較，求出相對(duì)誤差。其結(jié)果如表2-3所示。KS為利用XFEM得到的應(yīng)力強(qiáng)度因子有限元解，MPa·mm1/2。

從表2和表3中的誤差分析可以看出，利用擴(kuò)展有限元法求得的應(yīng)力強(qiáng)度因子與通過(guò)應(yīng)力強(qiáng)度因子手冊(cè)計(jì)算的結(jié)果很接近，最大相對(duì)誤差為-7.12%，因此，可以認(rèn)為通過(guò)擴(kuò)展有限元法求得的應(yīng)力強(qiáng)度因子是相對(duì)準(zhǔn)確可靠的。

對(duì)單向拉伸載荷為100 MPa、裂紋寬度為0.5 mm模型的裂紋尖端受力進(jìn)行分析，得到的應(yīng)力云圖如圖4所示。裂紋擴(kuò)展的20步過(guò)程中，裂紋尖端處所受到的應(yīng)力始終是最大的，表明了裂尖處有很大的應(yīng)力集中，這會(huì)加速CT80連續(xù)管的裂紋擴(kuò)展。

表2 裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子隨拉伸應(yīng)力的變化(α=0.5 mm)Table 2 Crack stress intensity factor changes with tensile stress(α=0.5 mm)

表3 裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子隨裂紋寬度的變化(σ=100 MPa)Table 3 Crack stress intensity factor changes with crack width(σ=100 MPa)

圖4 不同分析步數(shù)下的CT80連續(xù)管受力云圖Fig.4 Stress cloud diagram of CT80 coiled tubing under different analytical steps

3 裂紋角度對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響

裂紋的角度對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子有很大影響，用解析法等方法計(jì)算復(fù)雜三維模型的復(fù)雜受力相當(dāng)復(fù)雜，而利用擴(kuò)展有限元法計(jì)算復(fù)雜模型的應(yīng)力強(qiáng)度因子則較為簡(jiǎn)便準(zhǔn)確。為了研究裂紋角度對(duì)Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅲ型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ，KⅡ和KⅢ的影響情況，利用ABAQUS軟件平臺(tái)的擴(kuò)展有限元(XFEM)技術(shù)分別計(jì)算不同裂紋角度下的KⅠ，KⅡ和KⅢ值。

首先建立不同裂紋方向CT80連續(xù)管的模型。取CT80連續(xù)管的壁厚為2.77 mm，外徑為38.10 mm，長(zhǎng)度為100 mm。對(duì)模型一端施加100 MPa的均勻拉力，力學(xué)材料參數(shù)如表1所示。裂紋的長(zhǎng)度為1/12圓周，寬度分別為0.5，1.0和1.5 mm。裂紋方向θ(裂紋面與XOY平面的夾角)分別為0°，15°，30°，45°，60°，75°和90°。模型如圖5所示。

圖5 不同裂紋角度θ下的CT80連續(xù)管模型Fig.5 CT80 coiled tubing model with different crack angles

3.1 裂紋角度對(duì)Ⅰ型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ的影響

通過(guò)擴(kuò)展有限元法計(jì)算可以得到不同裂紋角度對(duì)Ⅰ型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ的影響，其結(jié)果如圖6所示。

從圖6可以看出，當(dāng)裂紋寬度α分別為0.5，1.0，1.5 mm時(shí)，隨著裂紋角度θ的增大，Ⅰ 型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ不斷減小。

圖6 不同裂紋角度θ下的Ⅰ型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠFig.6 Stress intensity factorKⅠof typeⅠ cracks under different crack angles

3.2 裂紋角度對(duì)Ⅱ型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅡ的影響

通過(guò)擴(kuò)展有限元法計(jì)算，可以得到不同裂紋角度對(duì)Ⅱ型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅡ的影響，其結(jié)果如圖7所示。

圖7 不同裂紋角度θ下的Ⅱ型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅡFig.7 Stress intensity factorKⅡof type Ⅱ cracks under different crack anglesθ

從圖7可以看出，當(dāng)裂紋寬度α分別為0.5，1.0和1.5 mm時(shí)，隨著裂紋角度θ的增大，Ⅱ型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅡ的整體趨勢(shì)是先增大后減小；但是，KⅡ值總是很小，多個(gè)值趨近于0。

3.3 裂紋角度對(duì)Ⅲ型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅢ的影響

通過(guò)擴(kuò)展有限元法計(jì)算可以得到不同裂紋角度對(duì)Ⅲ型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅢ的影響，其結(jié)果如圖8所示。

圖8 不同裂紋角度θ下的Ⅲ型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅢFig.8 Stress intensity factorKⅢ of type Ⅲ cracks under different crack angles θ

從圖8可以看出，當(dāng)裂紋寬度α分別為0.5，1.0和1.5 mm時(shí)，隨著裂紋角度θ的增大，Ⅲ型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅢ的整體趨勢(shì)是先增大后減小，在裂紋角度θ=45°時(shí)達(dá)到最大值。

3.4 裂紋角度對(duì)總應(yīng)力強(qiáng)度因子K的影響

由前面的表2和表3可知，利用CAE軟件平臺(tái)的擴(kuò)展有限元法計(jì)算出的應(yīng)力強(qiáng)度因子比較精確。由擴(kuò)展有限元法計(jì)算出KⅠ，KⅡ，KⅢ值后，利用式(3)可以求得總的應(yīng)力強(qiáng)度因子K，其計(jì)算結(jié)果如圖9所示。

圖9 不同裂紋角度θ下的總裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子KFig.9 The total stress intensity factor K under different crack angles θ

從圖9可以看出，當(dāng)裂紋寬度α分別為0.5，1.0和1.5 mm時(shí)，隨著裂紋角度θ的增大，總裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子K不斷減小。K與KⅠ的整體趨勢(shì)大體一致，這表明在不同裂紋角度下，Ⅰ型(張開(kāi)型)裂紋是最為危險(xiǎn)的裂紋。

4 含裂紋CT80連續(xù)管安全性預(yù)測(cè)

當(dāng)前對(duì)CT80連續(xù)管的無(wú)損裂紋檢測(cè)方法主要有2種，對(duì)于不可見(jiàn)的內(nèi)部裂紋，采用渦流探傷的方法檢測(cè)；對(duì)于可見(jiàn)的開(kāi)口裂紋，采用超聲波檢測(cè)。根據(jù)上述2種方法檢測(cè)到的裂紋形狀建立有限元模型，利用XFEM可以快速計(jì)算出該裂紋形狀下的CT80連續(xù)管裂尖應(yīng)力強(qiáng)度因子K。

根據(jù)20世紀(jì)60年代Irwin[21]提出的應(yīng)力強(qiáng)度因子方法可知，控制斷裂的參數(shù)是材料的斷裂韌性KC。相應(yīng)的斷裂準(zhǔn)則為：

K=KC

(5)

該準(zhǔn)則提出，應(yīng)力強(qiáng)度因子既適用于穩(wěn)定裂紋擴(kuò)展，也適用于疲勞和應(yīng)力腐蝕的亞臨界裂紋擴(kuò)展。

5 結(jié)論

1)利用ABAQUS軟件平臺(tái)的擴(kuò)展有限元法(XFEM)功能，可以精確的求得裂尖應(yīng)力強(qiáng)度因子。擴(kuò)展有限元法計(jì)算出的應(yīng)力強(qiáng)度因子與應(yīng)力強(qiáng)度因子手冊(cè)上求得的應(yīng)力強(qiáng)度因子很接近。對(duì)于受單向拉伸載荷的CT80連續(xù)管試樣，其構(gòu)件受到的最大應(yīng)力始終位于裂尖處。

2)隨著裂紋角度θ的增大，KⅠ不斷減小；KⅡ的整體趨勢(shì)是先增大后減小，但是，KⅡ值總是很小，趨近于零；KⅢ的整體趨勢(shì)是先增大后減小；在裂紋角度θ為45°時(shí)達(dá)到最大值；總裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子K不斷減小；K與KⅠ的整體趨勢(shì)大體一致，這表明在不同裂紋角度下，Ⅰ型(張開(kāi)型)裂紋是最為危險(xiǎn)的裂紋。

3)通過(guò)比較ABAQUS軟件計(jì)算出的應(yīng)力強(qiáng)度因子與CT80連續(xù)管的材料斷裂韌性KC，可有效判斷構(gòu)件是否處于安全狀態(tài)。