無(wú)人機(jī)吊掛飛行系統(tǒng)的減擺控制設(shè)計(jì)

王詩(shī)章 鮮斌 楊森

近年來(lái),四旋翼無(wú)人機(jī)機(jī)(Unmanned aerial vehicle,UAV)在自然災(zāi)害勘探、農(nóng)業(yè)施肥、商用及軍用等領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用,研究人員展開了很多相關(guān)研究[1?4].利用四旋翼無(wú)人機(jī)運(yùn)送貨物,是四旋翼無(wú)人機(jī)應(yīng)用研究的重要方向之一.

無(wú)人機(jī)吊掛飛行日益得到國(guó)內(nèi)外研究人員的廣泛關(guān)注,與橋式吊車等運(yùn)送系統(tǒng)[5?7]類似,其控制目的在于將懸掛的負(fù)載平穩(wěn)、安全、高效地運(yùn)送到指定目標(biāo)位置.針對(duì)四旋翼無(wú)人機(jī)吊掛飛行控制研究,國(guó)內(nèi)外研究團(tuán)隊(duì)提出了不同的控制方法.其中,美國(guó)賓夕法尼亞大學(xué)的研究人員較早展開了相關(guān)研究,取得了一些較好的研究成果.文獻(xiàn)[8]中,研究人員針對(duì)存在障礙物的環(huán)境,設(shè)計(jì)了一種軌跡規(guī)劃方法,引導(dǎo)四旋翼吊掛系統(tǒng)避障飛行.文中采用了混合整數(shù)二次規(guī)劃(Mixed integer quadratic program)方法對(duì)吊掛系統(tǒng)建模.為使負(fù)載順利通過(guò)比較狹窄的障礙空間,文中采用了兩種不同的幾何控制方法(Geometric control)對(duì)模型進(jìn)行控制.文獻(xiàn)[9]中,研究人員針對(duì)四旋翼吊掛系統(tǒng)具有的微分平滑(Differential flatness)特性,提出了一種軌跡生成方法,并設(shè)計(jì)了一種控制器,同時(shí)保證了無(wú)人機(jī)姿態(tài)、負(fù)載姿態(tài)及負(fù)載位置的穩(wěn)定跟蹤.文獻(xiàn)[10]中,研究人員利用幾何控制和微分平滑方法對(duì)四旋翼無(wú)人機(jī)吊掛系統(tǒng)進(jìn)行控制,取得了位置和擺角幾乎全局指數(shù)穩(wěn)定的控制效果.另外,美國(guó)新墨西哥大學(xué)也進(jìn)行了關(guān)于四旋翼無(wú)人機(jī)吊掛控制的研究,在文獻(xiàn)[11]中,研究人員使用近似值迭代(Approximate value iteration)的強(qiáng)化學(xué)習(xí)算法(Reinforcement learning)生成運(yùn)動(dòng)軌跡,該方法對(duì)噪聲具有較好的魯棒性,并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.文獻(xiàn)[12]中,在吊掛負(fù)載質(zhì)量未知的情況下,利用幾何控制與最小二乘估計(jì)(Least-squares estimation)方法設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器,有效補(bǔ)償了負(fù)載質(zhì)量的不確定性,實(shí)現(xiàn)了四旋翼無(wú)人機(jī)的安全起飛,最后做了數(shù)值仿真對(duì)算法進(jìn)行了驗(yàn)證.另外,其他一些研究團(tuán)隊(duì)進(jìn)行無(wú)人機(jī)吊掛飛行控制的研究,文獻(xiàn)[13]中,研究人員提出了一種嵌套飽和(Nested saturation)的方法對(duì)吊掛系統(tǒng)進(jìn)行控制,并通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證了該方法的有效性.

關(guān)于無(wú)人機(jī)吊掛飛行系統(tǒng)的控制,目前研究人員已經(jīng)取得了一定的成果,但仍然存在一些局限性:1)一些已有的控制設(shè)計(jì),對(duì)被控對(duì)象的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行了較多的假設(shè)與簡(jiǎn)化,例如假設(shè)負(fù)載擺角足夠小,然后在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)控制器.但在實(shí)際情況下,應(yīng)考慮當(dāng)擺角出現(xiàn)大的波動(dòng)時(shí),需設(shè)計(jì)必要的反饋控制來(lái)保證系統(tǒng)的穩(wěn)定;2)又如一些控制方法,在平衡點(diǎn)附近對(duì)被控模型進(jìn)行線性化處理,但未考慮非平衡點(diǎn)處的穩(wěn)定性與控制問(wèn)題;3)目前已有的多數(shù)控制方法,建立在懸掛負(fù)載質(zhì)量已知的情況下,但在一些實(shí)際應(yīng)用中,存在載荷質(zhì)量改變的情況,有效的控制方法需要一定程度上不依賴于負(fù)載質(zhì)量;4)目前大多數(shù)的非線性控制方法,只是進(jìn)行了數(shù)值仿真,未進(jìn)行真實(shí)環(huán)境下的飛行驗(yàn)證,對(duì)于實(shí)際應(yīng)用仍存在一定的風(fēng)險(xiǎn).

基于以上分析,本文研究四旋翼無(wú)人機(jī)吊掛系統(tǒng)的二維動(dòng)力學(xué)模型,該模型考慮了系統(tǒng)所受的空氣阻尼作用.針對(duì)存在未知負(fù)載質(zhì)量和空氣阻尼系數(shù)的情況,本文設(shè)計(jì)的自適應(yīng)控制器能實(shí)現(xiàn)四旋翼無(wú)人機(jī)的位置控制及負(fù)載擺角的快速抑制,同時(shí)設(shè)計(jì)的參數(shù)更新律對(duì)模型中的未知對(duì)象參數(shù)進(jìn)行在線估計(jì).本文利用Lyapunov方法對(duì)控制器的穩(wěn)定性進(jìn)行了理論分析,飛行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文設(shè)計(jì)的自適應(yīng)控制器的有效性.本文關(guān)于四旋翼無(wú)人機(jī)吊掛飛行系統(tǒng)研究的創(chuàng)新點(diǎn)主要包括:1)盡管被控對(duì)象具有非線性、欠驅(qū)動(dòng)、強(qiáng)耦合等特性,本文未對(duì)被控對(duì)象的動(dòng)態(tài)特性作過(guò)多的假設(shè),沒(méi)有進(jìn)行線性化處理,也未對(duì)負(fù)載擺角進(jìn)行嚴(yán)格限制;2)本文在基于負(fù)載小球質(zhì)量和空氣阻尼系數(shù)未知的情況下,通過(guò)一種參數(shù)自適應(yīng)律,對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行了在線估計(jì),補(bǔ)償了未知負(fù)載質(zhì)量和空氣阻尼系數(shù);3)本文對(duì)提出的控制策略,進(jìn)行了實(shí)際飛行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,并與線性二次調(diào)節(jié)器(Linear quadratic regulator,LQR)進(jìn)行對(duì)比,實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文設(shè)計(jì)的非線性控制器具有更好的控制效果.

本文內(nèi)容安排為:第1節(jié),給出了四旋翼吊掛飛行系統(tǒng)的平面動(dòng)力學(xué)模型;第2節(jié),設(shè)計(jì)了一種參數(shù)自適應(yīng)律,在線更新未知參數(shù),接著設(shè)計(jì)了基于能量的自適應(yīng)耦合非線性控制器;第3節(jié),利用Lyapunov定理進(jìn)行了穩(wěn)定性分析;第4節(jié),展示了實(shí)驗(yàn)結(jié)果,并與LQR控制器的控制效果進(jìn)行了對(duì)比;最后,在第5節(jié)中,對(duì)本文設(shè)計(jì)進(jìn)行了總結(jié),并對(duì)后續(xù)研究進(jìn)行了展望.

1 動(dòng)力學(xué)模型

四旋翼無(wú)人機(jī)吊掛飛行系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示,其中,圖1(a)是其三維模型示意圖,圖1(b)是其二維平面模型示意圖.

圖1 四旋翼無(wú)人機(jī)吊掛飛行系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.1 Schematic of quadrotor UAV slung-load system

通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo),可獲得四旋翼無(wú)人機(jī)吊掛飛行系統(tǒng)平面模型的動(dòng)力學(xué)模型,表達(dá)式為

G(q)的表達(dá)式為

u的表達(dá)式為

fd的表達(dá)式為

式中,dy,dz,cθ是空氣阻尼系數(shù),均為未知量,根據(jù)已有文獻(xiàn)[14?15],可將空氣阻尼系數(shù)設(shè)為常數(shù).將式(2)～式(6)代入式(1)中,可得到系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的展開式如下:

另外,四旋翼無(wú)人機(jī)的滾轉(zhuǎn)角φ(t)和無(wú)人機(jī)受到的總升力f(t)可根據(jù)uy(t)和uz(t)計(jì)算得到,表示如下:

可以證明系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型具有如下性質(zhì):

本文研究基于負(fù)載小球質(zhì)量未知的情況,但負(fù)載小球質(zhì)量的上下界已知,如下式所示:

根據(jù)實(shí)際飛行情況,并依據(jù)已有研究成果[16?17],可做出如下合理假設(shè):

假設(shè)1.負(fù)載小球始終在無(wú)人機(jī)的下方,即負(fù)載小球相對(duì)于四旋翼無(wú)人機(jī)的擺角θ(t)滿足:

本文研究存在未知參數(shù)(負(fù)載小球質(zhì)量、空氣阻尼系數(shù))的條件下,四旋翼無(wú)人機(jī)吊掛飛行系統(tǒng)的自適應(yīng)非線性控制算法設(shè)計(jì).本文的研究目標(biāo)是保證四旋翼無(wú)人飛行器縱向(y方向)和垂直方向(z方向)運(yùn)動(dòng)到目標(biāo)位置,同時(shí)負(fù)載擺角漸近收斂到0,可用下述數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述:

式中,yd,zd∈R表示無(wú)人機(jī)y,z方向的期望位置.

為方便后面控制器的設(shè)計(jì),現(xiàn)定義誤差信號(hào)如下:

對(duì)式(15)分別求時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù),可得:

2 控制器設(shè)計(jì)

本節(jié)考慮四旋翼無(wú)人機(jī)吊掛飛行系統(tǒng)在具有不確定對(duì)象參數(shù)的條件下,包括負(fù)載質(zhì)量未知、空氣阻力系數(shù)未知,設(shè)計(jì)了一種參數(shù)自適應(yīng)律,在線估計(jì)未知對(duì)象參數(shù).然后提出了一種基于能量的自適應(yīng)耦合非線性控制方法.

四旋翼無(wú)人機(jī)吊掛飛行系統(tǒng)的機(jī)械能E(t)定義為

對(duì)式(17)求一階時(shí)間導(dǎo)數(shù)為

在式(18)中,一些參量定義為

根據(jù)系統(tǒng)能量的無(wú)源性特性,可設(shè)計(jì)控制輸入uy(t),uz(t)如下[18]:

將控制器式(20)代入式(18)中,可得:

對(duì)式(23)求導(dǎo),可得:

其中,Γy=γy>0,Γz=diag{γmp,γz}>0,α∈R+是正實(shí)數(shù)參數(shù).式(25)中ρ(s)是一個(gè)微分飽和函數(shù),其定義如下:

可以證明,式(26)中的ρ(s)函數(shù)具有如下性質(zhì):

1)對(duì)任意s∈R,|ρ(s)|≤1;

2)定義ρ(s)關(guān)于s的導(dǎo)數(shù)為

且對(duì)任意s∈R,|ρs(s)|≤1;

3)對(duì)任意s∈R,ρ2(s)≤sρ(s).

3 穩(wěn)定性證明

定理1.對(duì)于如式(7)所示的四旋翼無(wú)人機(jī)吊掛飛行系統(tǒng),在未知負(fù)載質(zhì)量mp,及空氣阻力項(xiàng)fd系數(shù)dy,dz,cθ均未知的情況下,式(25)中的負(fù)載質(zhì)量估計(jì)方法,能使負(fù)載質(zhì)量估計(jì)值漸近收斂到真實(shí)值;式(20)中的非線性控制器可以使四旋翼無(wú)人機(jī)從起始位置漸近收斂到目標(biāo)位置,同時(shí)使負(fù)載擺角較快地漸近收斂到0,即

證明.選取如下Lyapunov候選函數(shù)V(t):

對(duì)于V(t)中的項(xiàng),根據(jù)式 (27)可知,其符號(hào)與符號(hào)一致,所以,易得V(t)≥0,可知Lyapunov候選函數(shù)是半正定的.

對(duì)式(29)求一階時(shí)間導(dǎo)數(shù),可得:

其中,Q的表達(dá)式為

根據(jù)式(32),可得:

將式(32)～式(36)代入式(31)中,并消去同類項(xiàng),可得:

對(duì)于式(37)中的?mpglsinθρ(θ/2)項(xiàng),有下列不等式成立:

將式(38)～式(42)和式(44)代入式(37)中,可得:

當(dāng)參數(shù)α,kdy,kdz,kpy,kpz,kdθ滿足以下條件時(shí),

下面將進(jìn)一步分析如何獲得式(48)中的參數(shù)條件,

其中,f1,f2,f3,f4,f5的定義如下:

現(xiàn)定義函數(shù)S(t),其表達(dá)式為

其中,三階矩陣P的表達(dá)式為:

則式(52)可寫成

將式(54)代入式(50),可得:

由式(56)可得:

由于已知負(fù)載小球質(zhì)量的上下界,根據(jù)式(12),則可得:

在式(58)中,和r3定義為

進(jìn)而得到:

綜上,由式(57)～式(60)可以得到關(guān)于參數(shù)α,kdy,kdz,kpy,kpz,kdθ的限定條件,即式(48)和式(49).

對(duì)式(45)兩邊同時(shí)積分,可得:

根據(jù)式(61)可得:

則由芭芭拉定理[19]可得:

將式(64)代入式(20)第1行可知,

將式(63)和式(64)代入式(7)第1行和第3行中,可得:

可推得

由式(7)第2行和式(20)第2行可得

由式(64)和式(67)可得

由式(25)第2行知

則由式(68)、式(70)和式(71),根據(jù)擴(kuò)展芭芭拉定理,可得

由此可得

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文設(shè)計(jì)的非線性控制器對(duì)四旋翼無(wú)人機(jī)吊掛飛行系統(tǒng)的實(shí)際控制效果,本文采用如圖2所示的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的相關(guān)參數(shù)為:mq=1.0082kg、mp=0.076kg、l=1.085m及g=9.81m/s2.設(shè)定的吊掛飛行系統(tǒng)的初始位置和目標(biāo)位置為:y0=1.5m、z0=?1.6m、yd=?1.0m及zd=?1.7m.

圖2 四旋翼無(wú)人機(jī)吊掛飛行系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.2 Experiment testbed of quadrotor UAV slung-load system

本文設(shè)計(jì)的自適應(yīng)非線性控制器的相關(guān)參數(shù)為:σy=2.0、σm=1.2、σz=10.0、α=0.5、kpy=4.9、kpz=16.0、kdy=8.0、kdz=9.0及kdθ=0.7.另外,本文選擇了LQR控制器進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)對(duì)比驗(yàn)證.需對(duì)四旋翼無(wú)人機(jī)吊掛系統(tǒng)進(jìn)行線性化處理,其狀態(tài)空間描述為

設(shè)計(jì)線性二次最優(yōu)指標(biāo)J(t)為

其中,Q∈R6×6,R∈R2×2均設(shè)為單位矩陣.通過(guò)MATLAB可獲得式(76)中最優(yōu)控制系統(tǒng)信號(hào).基于仿真結(jié)果,在實(shí)際飛行實(shí)驗(yàn)中,依據(jù)實(shí)際飛行狀態(tài),對(duì)控制器參數(shù)做了一些相應(yīng)調(diào)整,最終確定的LQR控制器中矩陣K的表達(dá)式為

圖3描述了在兩種控制器下系統(tǒng)的狀態(tài)y(t),z(t),θ(t)隨時(shí)間變化的情況.圖4描述了在兩種控制器下y,z方向的控制輸入信號(hào)量uy(t),uz(t)隨時(shí)間變化的情況.圖5描述了飛行器的滾轉(zhuǎn)角φ(t)隨時(shí)間變化的情況.

圖3 無(wú)人機(jī)位置y(t),z(t)及負(fù)載擺角θ(t)Fig.3 y(t),z(t)of UAV and payload swingθ(t)

圖4 無(wú)人機(jī)控制輸入uy(t),uz(t)Fig.4 Control inputsuy(t),uz(t)of UAV

圖5 無(wú)人機(jī)滾轉(zhuǎn)角φ(t)Fig.5 Roll angleφ(t)of UAV

本文中,定義當(dāng)四旋翼無(wú)人機(jī)到達(dá)目標(biāo)位置并保持在規(guī)定誤差帶(目標(biāo)位置的±5%)內(nèi)時(shí),則系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài).定義調(diào)節(jié)時(shí)間為四旋翼無(wú)人機(jī)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)所需的最短時(shí)間.通過(guò)對(duì)圖3的動(dòng)態(tài)過(guò)程進(jìn)行具體分析,可得到表1,表1中是非線性控制器和LQR控制器調(diào)節(jié)時(shí)間對(duì)比結(jié)果.在非線性控制器下,y,z方向的位移y(t),z(t)和負(fù)載擺角θ(t)的調(diào)節(jié)時(shí)間均遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于LQR控制器.且在LQR控制器下,y(t),z(t)振蕩較為劇烈,尤其是z方向位移,超調(diào)量達(dá)0.19m.對(duì)于負(fù)載擺角θ(t),盡管非線性控制器的振幅大,約7?左右,LQR控制器的負(fù)載擺角相對(duì)較小,約5?左右,但非線性控制器比LQR控制器的收斂速度快,擺角較快地收斂到較小值,且振蕩次數(shù)少.根據(jù)圖4和圖5可知,對(duì)于控制輸入量uy(t)和飛行器的滾轉(zhuǎn)角φ(t),從動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)過(guò)程的前半部分來(lái)看,非線性控制器振幅比LQR控制器大,但后半部分,非線性控制器振幅迅速大幅衰減.整體來(lái)看,非線性控制器的動(dòng)態(tài)過(guò)程收斂速度快,振動(dòng)幅度較快實(shí)現(xiàn)衰減,且振蕩次數(shù)相對(duì)較少.對(duì)于控制輸入量uz(t),非線性控制器和LQR控制器的動(dòng)態(tài)過(guò)程均較快.總的來(lái)看,對(duì)于控制器產(chǎn)生的控制輸入量uy(t),uz(t)及飛行器的滾轉(zhuǎn)角(t),非線性控制器的效果比LQR控制器好一些.

表1 非線性控制器和LQR控制器調(diào)節(jié)時(shí)間對(duì)比Table 1 Comparison of the settling time between nonlinear controller and LQR controller

表2 非線性控制器和LQR控制器穩(wěn)態(tài)誤差均值對(duì)比Table 2 Comparison of the steady-state mean error between nonlinear controller and LQR controller

對(duì)圖3中的狀態(tài)量的穩(wěn)態(tài)過(guò)程進(jìn)行定量分析,選取第20秒～第80秒的數(shù)據(jù),分別對(duì)圖中各個(gè)量求取了誤差均值,均方誤差(Mean square error,MSE)和最大偏差.表2～表4分別是非線性控制器和LQR控制器穩(wěn)態(tài)后誤差均值、均方誤差和最大偏差的對(duì)比.對(duì)于無(wú)人機(jī)y方向位移y(t),非線性控制器的誤差均值、均方誤差和最大偏差均小于LQR控制器,能實(shí)現(xiàn)高精度地y方向位置控制,且穩(wěn)態(tài)過(guò)程的穩(wěn)定性較好;對(duì)于無(wú)人機(jī)z方向位移z(t),z方向位置控制精度優(yōu)于LQR控制器,但非線性控制器的均方誤差和最大偏差均略微大于LQR控制器;負(fù)載擺角θ(t),非線性控制器的誤差均值和均方誤差與LQR控制器基本相同,但LQR控制器的最大偏差較大,總的來(lái)看,非線性控制器和LQR控制器的穩(wěn)態(tài)性能均較好.圖4中控制輸入量uy(t),uz(t)的穩(wěn)態(tài)性能和y,z方向的位移y(t),z(t)的穩(wěn)態(tài)性能對(duì)應(yīng),合理地解釋了y,z方向的位移y(t),z(t)的變化曲線,間接體現(xiàn)了非線性控制器的優(yōu)良性能.分析圖5可知,非線性控制器下飛行器的滾轉(zhuǎn)角φ(t)的穩(wěn)態(tài)過(guò)程好于LQR控制器.

表3 非線性控制器和LQR控制器穩(wěn)態(tài)均方誤差對(duì)比Table 3 Comparison of the steady-state mean square error between nonlinear controller and LQR controller

表4 非線性控制器和LQR控制器穩(wěn)態(tài)最大偏差對(duì)比Table 4 Comparison of the steady-state maximum deviation between nonlinear controller and LQR controller

5 總結(jié)與展望

針對(duì)四旋翼無(wú)人機(jī)吊掛飛行系統(tǒng),本文基于未知對(duì)象參數(shù)的系統(tǒng)二維動(dòng)力學(xué)模型,設(shè)計(jì)了未知參數(shù)在線估計(jì)器,補(bǔ)償負(fù)載質(zhì)量和空氣阻尼作用.同時(shí),設(shè)計(jì)了自適應(yīng)耦合非線性控制器,該控制器能實(shí)現(xiàn)四旋翼吊掛飛行系統(tǒng)的位置控制并具有較好的減擺效果.最后,在真實(shí)飛行實(shí)驗(yàn)下,將本文設(shè)計(jì)的自適應(yīng)耦合非線性控制器與LQR控制器的控制效果進(jìn)行了對(duì)比,結(jié)果表明本文設(shè)計(jì)的非線性控制器有更好的準(zhǔn)確定位和快速減擺作用.

后續(xù)工作會(huì)考慮四旋翼無(wú)人機(jī)吊掛飛行系統(tǒng)的三維動(dòng)態(tài)特性,不僅僅考慮飛行器的滾轉(zhuǎn)方向,還會(huì)擴(kuò)展到俯仰方向,并進(jìn)行相關(guān)的建立動(dòng)態(tài)模型,穩(wěn)定性證明和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證等工作.另外,后續(xù)將考慮四旋翼無(wú)人機(jī)吊掛飛行系統(tǒng)在受外界較強(qiáng)干擾的影響下的控制問(wèn)題.