模式失配條件下連續(xù)時間控制系統(tǒng)的零控脫靶量估計誤差分布

項盛文 范紅旗 付強

海灣戰(zhàn)爭以后,戰(zhàn)術(shù)彈道導(dǎo)彈(Tactical ballistic missiles,TBM)逐漸成為防空系統(tǒng)的攔截對象,而具有潛在機動能力的TBM 的出現(xiàn),則給現(xiàn)有防空系統(tǒng)提出嚴峻的挑戰(zhàn).當前,高速大機動目標攔截問題引起了國內(nèi)外各研究團隊的廣泛關(guān)注,其中最具代表的是以色列的Shinar團隊[1?4].此類目標攔截的最大挑戰(zhàn)在于它要求特別小的脫靶量(Miss distance,MD)甚至是直接碰撞.對于該問題,由于導(dǎo)彈加速度飽和、非高斯噪聲以及系統(tǒng)的非線性,確定性等價原理[5]已不再適用.然而,當導(dǎo)彈和目標的相對狀態(tài)滿足可觀測性條件時,部分分離定理仍然成立,此時估計器仍可獨立于導(dǎo)引律進行設(shè)計[6].

在估計器給定后,建立零控脫靶量(Zero-effort miss distance,ZEM)的估計誤差模型便具有重要意義.一方面,ZEM是導(dǎo)引律中的一項關(guān)鍵輸入?yún)?shù),不同導(dǎo)引律間的區(qū)別僅在于不同的ZEM 計算方式.因此,ZEM的估計精度將直接影響制導(dǎo)性能,合適的ZEM估計誤差模型可以有效指導(dǎo)制導(dǎo)系統(tǒng)的設(shè)計.另一方面,作為評價高度大機動目標攔截性能的重要指標,脫靶量的解析計算方法中需要用到ZEM的估計誤差模型[7?10].

目前,在給定系統(tǒng)動態(tài)模型、估計器、控制策略、以及具體的擾動和噪聲模型后,ZEM 的估計誤差分布主要通過大量蒙特卡洛仿真得到.然而,這種后驗方法在控制系統(tǒng)設(shè)計階段并不十分適用.Moldavskaya等[11]提出了一種求解ZEM 估計誤差分布的解析方法.采用成形濾波器技術(shù)近似目標加速度指令,近似的指令由白噪聲通過一個一階線性系統(tǒng)后得到,且與原指令具有相同的自相關(guān)函數(shù).假定初始的估計誤差為零,測量噪聲和狀態(tài)噪聲為互相獨立的零均值高斯白噪聲,則得出ZEM 的估計誤差服從零均值高斯分布,其中狀態(tài)估計誤差的方差矩陣滿足Riccati方程.

在末制導(dǎo)系統(tǒng)中,由于系統(tǒng)誤差、觀測噪聲等不確定因素以及不完全的狀態(tài)觀測,估計器需同時扮演觀測器和濾波器的角色,即要求其同時兼顧未知狀態(tài)重建及測量噪聲濾波這兩方面的性能,但使用固定帶寬的成形濾波器難以同時兼顧估計精度和響應(yīng)速度.相關(guān)的研究工作表明,組合使用獨立模式辨識器和一個低帶寬高精度估計器更適合高速大機動目標的攔截問題,可顯著提升制導(dǎo)性能[12?14].實際上,對于高速大機動目標攔截,雷達和光電導(dǎo)引頭能夠觀測到目標的特征信息,這些特征為模式辨識器的設(shè)計提供了額外的信息且可改善系統(tǒng)對目標機動的響應(yīng)速度[15?18].Fan等在引入獨立模式辨識器的基礎(chǔ)上,分析了狀態(tài)估計的誤差特性[19].考慮到ZEM對大機動目標攔截的重要意義,本文在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)模式失配條件下ZEM的估計誤差分布.

1 問題描述

1.1 系統(tǒng)運動模型

與大多數(shù)機動目標攔截文獻類似[7?11,20],本文僅考慮一彈一目的平面攔截情形.如圖1所示,用P和E分別表示導(dǎo)彈(追方)和目標(逃方),并作如下假設(shè)[11,19?21]:

1)P和E的控制動態(tài)可用一階轉(zhuǎn)移函數(shù)來近似,相應(yīng)的時間常數(shù)分別為τp和τe;

2)P和E的速度是恒定的,分別用Vp和Ve表示;

3)P和E的橫向加速度有界,其最大橫向加速度分別用表示.

在圖1中,X軸沿彈目初始視線方向;Y垂直于X軸;(xp,yp)和(xe,ye)分別為P和E的當前坐標;φi,i=p,e分別是P和E的偏航角,它表示速度矢量和X軸的夾角.假設(shè)偏航角滿足(sinφp=φp,sinφe=π ? φe),則彈目運動軌跡可以沿著初始視線進行線性化.假定接近速度恒定,起始時刻t0=0s,給定彈目起始距離r0后,攔截的終止時刻滿足:

剩余飛行時間定義為tgo=tf?t.

定義狀態(tài)矢量x= [x1,x2,x3,x4]T=[y,y˙,aey,apy]T.基于上述三條假定,整個攔截過程的時間t∈[0,tf],且具有下述線性動態(tài)模型:

其中,x1=ye?yp為P和E之間沿Y軸的相對距離;x2為相對的橫向速度;aiy,ui,i=p,e分別為i的橫向加速度和加速度指令且滿足:

定義

其中,γ稱為機動過載比,ε通常稱為敏捷系數(shù).為了保證較好的攔截精度,傳統(tǒng)最優(yōu)控制框架下的導(dǎo)引律如OGL(Optimal guidance law)通常需要過載優(yōu)勢滿足γ>3,比例導(dǎo)引和增廣比例導(dǎo)引則需要4到5倍的過載優(yōu)勢,本文面向TBM攔截應(yīng)用,考慮過載比γ<2.5的大機動目標且ε≈1.

圖1 平面攔截幾何Fig.1 Planer interception geometry

將動態(tài)模型寫成矢量形式

其中

對狀態(tài)方程(6)采用終端投影變換

則可將平面攔截問題轉(zhuǎn)換為一個標量問題.系統(tǒng)的新狀態(tài)變量為零控脫靶量z(t),而系統(tǒng)的脫靶量則為終止時刻tf的z(t),即z(tf).式(8)中,D=[1,0,0,0]T;Φ(tf,t)為滿足齊次方程的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,求解得到:

因此,可將零控脫靶量z(t)表示為

1.2 馬爾科夫跳變的加速度指令模型

與采用成形濾波器不同,本文引入一個獨立的模式辨識器,采用馬爾科夫跳變模型來描述目標的橫向加速度控制指令:

如圖2所示,這里將目標橫向加速度指令所在的控制空間量化為一系列離散點構(gòu)成的模式集.假定:ue(t)在這些點之間跳變;m(t)為離散化的目標橫向加速度指令,即目標的運動模式;w(t)為量化誤差,假定其為零均值的高斯白噪聲,功率譜密度為sw.有關(guān)機動目標跟蹤模型集的設(shè)計方法可以參見文獻[15,22?24].

圖2 目標橫向加速度指令模型集Fig.2 Mode-set of the evader's lateral acceleration command

不失一般性,假定[0,tf]內(nèi)目標只發(fā)生一次模式切換,令tsw表示模式切換時刻,m1,m2分別表示模式切換前后目標的運動模式量,則m(t)可表示為

其中,u(t)為階躍函數(shù),定義為

1.3 系統(tǒng)觀測模型

與文獻[19]類似,本文采用的觀測模型為

其中觀測矩陣

觀測噪聲v(t)為零均值的高斯白噪聲,其協(xié)方差矩陣為R(t).

2 ZEM估計誤差模型的推導(dǎo)

考慮如圖3所示的一種典型的制導(dǎo)系統(tǒng)結(jié)構(gòu).圖3中,獨立的模式辨識器為估計器和導(dǎo)引律的設(shè)計提供目標的運動模式信息.文獻[14]基于該架構(gòu)給出的導(dǎo)引律為基于邏輯的聯(lián)合估計導(dǎo)引律.本文在這個框架下推導(dǎo)模式失配條件下ZEM的估計誤差分布形式.

圖3 一種典型的制導(dǎo)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.3 A typical structure of guidance system

在此,我們對模式辨識器的行為作如下假定:目標運動模式切換后經(jīng)過?t的時間延遲,模式辨識器可給出正確的模式估計結(jié)果.目標模式切換和模式辨識器的模式?jīng)Q策過程如圖4所示.

圖4 模式切換和模式辨識器輸出示意圖Fig.4 Diagram of mode switch and decision-maker output

將式(12)的目標加速度指令代入系統(tǒng)狀態(tài)方程,可以得到:

估計器采用Kalman濾波器,由圖4可知估計器的動態(tài)方程為

下面分三種情況討論:

情形1.tf

結(jié)合式(15)觀測模型可以得到下述濾波方程

其中,k(t)為系統(tǒng)的連續(xù)Kalman增益矩陣且滿足

P(t)為預(yù)測誤差的協(xié)方差矩陣,滿足下述Riccati方程

情形2.tsw≤tf

1)t∈[0,tsw),此時估計器一直保持正確的模式,狀態(tài)估計誤差的均值和方差矩陣分別如式(25)和(26)所示.

2)t∈[tsw,tf],此時存在模式失配,系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

估計器的濾波方程仍為式(20).根據(jù)定義,可以得到狀態(tài)估計誤差的時間傳遞方程:

求解方程(28)得到

利用式(24)可得:

將其代入式(29),則

根據(jù)定義,狀態(tài)估計誤差的均值為

狀態(tài)估計誤差的方差矩陣同式(26).詳細的推導(dǎo)過程見附錄A.

情形3.tsw+?t≤tf.需要分三段進行討論:

1)t∈[0,tsw),此時系統(tǒng)的狀態(tài)方程和估計器的濾波方程分別如式(19)和(20)所示,狀態(tài)估計誤差的均值和方差矩陣則分別見式(25)和(26).

2)t∈[tsw,tsw+?t),存在模式失配,此時系統(tǒng)的狀態(tài)方程和估計器的濾波方程分別如式(27)和(20)所示,狀態(tài)估計誤差的均值和方差則矩陣分別見式(32)和(26).

3)t∈[tsw+?t,tf],估計器回到正確的目標模式上,此時的系統(tǒng)狀態(tài)方程為式(27),而估計器的濾波方程為

根據(jù)定義,可以得到狀態(tài)估計誤差滿足方程

求解得到

由式(31)可得:

代入式(35)后得到

根據(jù)定義,狀態(tài)估計誤差的均值為

狀態(tài)估計誤差的方差矩陣滿足式(26),詳細推導(dǎo)見附錄A.

其中,ψ(θ)=exp(?θ)+θ?1.

因此,存在模式失配時每一時刻ZEM 的估計誤差均服從有偏的高斯分布,其均值和方差分別為μ(t)和σ2(t).從式(40)和(41)的結(jié)果來看:

1)制導(dǎo)系統(tǒng)對ZEM估計誤差的的影響主要體現(xiàn)在導(dǎo)引律、彈目時間常數(shù)、剩余飛行時間tgo以及觀測精度4個方面;目標的影響則主要體現(xiàn)由機動導(dǎo)致的模式失配上.

2)模式失配只影響ZEM估計誤差的均值μ(t),對σ2(t)沒影響.

3)μ(t)和σ2(t)與系統(tǒng)所用的導(dǎo)引律無關(guān),在后面的仿真驗證中,不失一般性,導(dǎo)引律選用DGL/1.

4)tgo的估計精度及彈目時間常數(shù)τe和τp通過投影向量g(t)影響脫靶量.在具體的攔截問題中,彈目時間常數(shù)通常可假定為確定已知的,而雷達導(dǎo)引頭可直接獲得高精度的tgo測量,因此本文分析中不考慮它們對ZEM估計誤差的影響.

5)估計器的觀測精度將直接影響到Kalman增益系數(shù)k(t),見式(21),進而影響ZEM估計誤差的均值和方差.

3 仿真實驗

本節(jié)通過一個典型的TBM攔截場景驗證前面理論推導(dǎo)的正確性,仿真參數(shù)設(shè)置如表1,蒙特卡洛仿真次數(shù)設(shè)置為1000.

表1 仿真參數(shù)Table 1 Simulation parameters

圖5給出了兩種不同過載比γ=2和γ=2.5下ZEM估計誤差的均值變化曲線.從實驗結(jié)果可以看出,本文推導(dǎo)的理論結(jié)果與蒙特卡洛仿真的曲線基本吻合.由圖5還可以看出,當目標的運動模式改變時(t=2s),ZEM的估計誤差會迅速增大,當運動模式被正確識別后(t=2.1s),ZEM的估計誤差將逐漸減小.圖6給出了這兩種情形下ZEM估計誤差的方差分布,可以看出本文理論推導(dǎo)結(jié)果與蒙特卡洛仿真的曲線同樣也是吻合的.圖5和圖6的仿真結(jié)果充分說明了本文理論推導(dǎo)的正確性.

圖5 ZEM估計誤差的均值Fig.5 Mean of ZEM estimation error

圖7給出了各狀態(tài)分量的估計誤差.由該圖可見,當目標運動模式改變后,各狀態(tài)分量的估計誤差都迅速增大,當模式匹配后,估計誤差逐漸減小;導(dǎo)彈自身加速度估計誤差分量不受模式失配的影響,這與導(dǎo)彈自身的加速度模型是完美可知且可精確測量的假設(shè)相一致.

圖6 ZEM估計誤差的方差Fig.6 Variance of ZEM estimation error

圖7 各狀態(tài)估計誤差Fig.7 Estimation error of every state

4 結(jié)論

本文針對高速大機動目標攔截問題,推導(dǎo)了模式失配條件下ZEM估計誤差的分布形式.在過程噪聲和測量噪聲均為零均值高斯白噪聲且相互獨立的假定下,每一時刻ZEM 的估計誤差服從有偏的高斯分布.本文得到了各時刻ZEM估計誤差均值和方差的解析表達式,并與蒙特卡洛仿真實驗進行了對比,驗證了理論推導(dǎo)的正確性.

將本文的ZEM估計誤差模型應(yīng)用于模式失配條件下脫靶量模型的推導(dǎo),以及研究基于特征輔助的目標運動模式辨識算法將是下一步工作的方向.

附錄A

情形1中ξ(t)和Σ(t)形式證明:

因為

所以

同理,很容易推出式(32)和(38),這里不再贅述.

同理,很容易得出在情形2和情形3下,Σ(t)的表達式與式(26)相同,這里不再贅述.

附錄B