基于響應面法的槽形梁結構噪聲優化研究

劉林芽， 秦佳良， 雷曉燕, 劉全民， 宋 瑞,2

(1.華東交通大學 鐵路環境振動與噪聲教育部工程研究中心，南昌 330013;2.南昌工程學院 土木與建筑工程系，南昌 330029)

橋梁在列車動載作用下會向周圍環境輻射噪聲，其中主要以20～200 Hz頻段的低頻噪聲為主[1]。這種低頻噪聲由于其波長較長，在傳播過程中不易衰減，而且采用傳統的聲屏障還難以有效控制這種低頻噪聲[2]，并且對人體健康還有較大的不利影響[3-4]。而且隨著我國軌道交通的不斷發展，軌道交通橋梁的應用也越來越多，人們對軌道交通結構低頻噪聲的投訴傾向也在增多[5]。因此，對軌道交通橋梁減振降噪的研究是一個亟待解決的問題。

目前，國內外學者對橋梁減振降噪做了大量的研究，Zhang等[6-7]基于車-線-橋耦合振動理論和聲學邊界元理論，建立了箱梁結構噪聲預測的混合有限元-邊界元法，分析得出增加板厚將使箱梁結構噪聲降低，且增加頂板厚度最為有效。韓江龍等[8]采用模態疊加法求解列車-軌道-橋梁動力響應，再采用模態聲傳遞向量法求解橋梁結構噪聲，分析了板厚和加肋對槽形梁結構噪聲的影響。Bewes[9]對混凝土橋、鋼筋混凝土橋和鋼橋研究表明：增加橋梁某些結構組件的厚度，可以降低這一組件的結構噪聲，但同時會增加其它組件的結構噪聲。

雖然國內外學者對橋梁減振降噪做了大量的研究，但對橋梁結構聲學最優截面的研究卻很少，僅研究了單一板厚對結構噪聲的影響。而且大多數都采用單一場點的聲壓級來評價橋梁降噪的效果，并不能體現出空間聲場的整體降噪效果。因為同一板件對不同場點的聲學貢獻量是不一樣的，有可能增加一個板件的厚度會降低某一個點的聲壓級，但卻會增加另一個點的聲壓級。所以本文將聲功率作為橋梁結構噪聲優化的評價指標能避免這個問題。這是因為聲功率表示的是單位時間內聲源向外輻射噪聲的能量多少，與距離聲源的遠近無關，所以在優化過程中不需要選取特定的場點。本文以軌道交通30 m簡支槽形梁為研究對象，將響應面法和聲學響應計算相結合，建立了以槽形梁結構輻射噪聲的聲功率級為目標及以槽形梁質量為約束的聲學優化模型，再利用序列二次規劃法進行求解，最終找出了槽形梁結構聲學最優的截面尺寸，為軌道交通槽形梁的減振降噪提供了一定的依據。

1 槽形梁結構聲學響應計算

1.1 輪軌激振力的獲取

首先利用有限元軟件ANSYS和多體動力學軟件SIMPACK，建立精細化的車橋耦合空間動力學分析模型。在SIMPACK中建立車輛分析模型，車輛系統的多體動力學模型通過鉸接、剛體、力元、約束以及輪軌接觸模型等來形成一系列的動力學方程。一節車輛可以認為由一個車體、兩個轉向架、四個輪對等七個剛體構成，其中連接這些剛體的部件還可分為一、二系彈簧、橫向減振器、垂向減振器，抗蛇行減振器、抗側滾扭桿、牽引拉桿、橫向止擋等。其中每個剛體考慮伸縮、橫擺、浮沉、點頭、側滾、搖頭6個自由度，由于左右輪上各有一個約束，所以車輛共34個自由度。

在ANSYS中建立橋梁模型，并對其進行子結構分析和模態分析處理，得到SIMPACK中有限元FEMBS可以識別的文件，再利用SIMPACK中柔性軌道模塊，實現車輛模型和橋梁模型的共同求解。其中，把車輛模型和橋梁模型分別作為兩個系統，它們之間通過輪軌接觸點實現力、位移等的交換。然后分別輪流迭代，最終計算出輪軌之間的相互作用力，實現車橋耦合分析模型的求解。本文只考慮2節地鐵A型車通過該槽形梁結構。計算速度取為80 km/h，鋼軌不平順根據ISO3095—2013標準中的不平順限制譜生成。圖1所示為車橋耦合分析模型。

圖1 車橋耦合分析模型Fig.1 The model of vehicle-bridge coupling analysis

1.2 槽形梁振動響應計算的有限元法

振動是噪聲的來源，所以要計算槽形梁的結構噪聲必須先計算出槽形梁的振動響應。本文采用瞬態動力學分析橋梁結構的動力響應。瞬態動力學分析也稱為時間歷程分析，其基本運動方程為：

(1)

在求解槽形梁振動響應時，將列車在運行過程中產生的連續的輪軌力簡化為一系列隨時間移動的集中力荷載，采用節點加載的方式，將這些移動的集中力荷載加載到軌道-槽形梁有限元模型中的鋼軌上，圖2所示為軌道-槽形梁的有限元模型。然后對其進行瞬態動力學分析，即可計算出在列車荷載作用下槽形梁在時域內的振動響應[10]。

圖2 軌道-槽形梁有限元模型Fig.2 Finite element model of track-trough girder

1.3 槽形梁結構聲學響應計算的邊界元法

理論上任意形狀的振動結構在外部流體介質場Q中任意點P的穩態聲壓p(r)可由Helmholtz積分公式計算得

(2)

槽形梁表面可以被認為是具有小振幅運動的不滲透邊界，滿足Neumann邊界條件

?p/?n=-iωρv

(3)

式中：n為槽形梁表面邊界外法線向量；v為邊界表面的法向振動速度向量；ρ為流體密度。

槽形梁結構噪聲輻射在聲場無窮遠處不存在反射波，因此還要滿足Sommerfield條件

(4)

式中：p為聲壓向量；r為聲場中場點距源點的距離；Γ為距離源點為r處的波陣面；SΓ為波陣面面積。利用加權殘值法，選用式(1)的基本解自由空間格林函數G(r,rS)，使用加權殘值法可求得：

(5)

式中：R=|r-rS|；k=ω/c為波數；c為流體介質中的聲速。

當式(2)中的r趨近于rS時，可得到Helmholtz表面積分方程：

(6)

其中：

C(rS)稱為表面角系數。

結構的輻射聲功率可通過下式求得：

(7)

式中：v*為的共軛復數。

在建立槽形梁聲學分析模型時，為準確計算結構噪聲，在最小波長內要有6個單元[11]，也就是最大單元的邊長要小于計算頻率最短波長的1/6。本文分析頻率為20～200 Hz，所以最大單元的邊長要滿足如下表達式

(8)

槽形梁的邊界元網格可以由有限元網格轉化得到，所以槽形梁的有限元網格劃分也應該滿足式(8)。然后將列車荷載作用下軌道交通槽形梁在時域內的振動響應，通過FFT將其變換為頻域內的結果，再把頻域的振動響應結果作為聲學計算的邊界條件，導入到LMS Virtual.lab軟件中，采用邊界元法來計算軌道交通槽形梁結構輻射噪聲的聲功率。

2 響應面法介紹及原理

由于槽形梁的形狀是不規則的，所以很難用顯式表達式來計算槽形梁的輻射聲功率。而且結構聲學優化是一個反復迭代的過程，單次計算過程通常就需要花費大量的計算資源和時間，需要多次調用仿真分析軟件。在優化過程中，設計變量的變化可能導致單元計算產生問題，優化迭代過程會因為單次仿真的失效而使整個優化過程無法進行。針對以上問題，本文將響應面法引入到槽形梁結構聲學優化設計當中，用響應面模型代替復雜的，具有多自由度的槽形梁結構聲學仿真模型。

響應面法可以采用多項式函數代替難以顯式化的狀態函數，通過多次迭代調整，一般都能滿足實際工程精度，具有較高的效率，很有使用價值，是一個很有發展前景的計算方法，也是處理優化問題時常用的方法之一。華洪良等[12]就利用響應面法對不同結構的優化問題做了研究。響應面法是將合理的實驗設計得到相關的數據采用回歸方程來擬合，得到設計變量與目標函數之間的近似函數關系。利用響應面法來構造近似模型時，首先要確定近似函數的形式，然后運用統計的試驗設計方法在空間內選取足夠多的設計點，然后確定響應面模型多項式的次數，運用最小二乘法原理對試驗設計點的結果進行擬合得到響應面模型。

結構的性能值y關于變量x的函數關系表達式f(x)往往不能用顯式表達，但是只要給定了變量值就可以通過數值試驗得到相應的響應值，那么就可以用擬合出來g(x)的去替代f(x)，即

y=f(x)≈g(x)

(9)

式中：g(x)表示的曲面為響應表面。

由于性能響應與變量之間函數關系未知，因此事先必須選擇函數g(x)的形式。選擇好的函數會使近似更精確，而且會使適合使用的設計空間域更寬廣。實際中根據工程經驗，通常選取二次多項式的形式，其表達式為

(10)

式中：α0為常數項待定系數；αi為一次項待定系數；αij為二次項待定系數。

為了確定待定系數，需要做m次獨立試驗，其中m≥k=(n+1)(n+2)/2，n為設計變量的個數。每次試驗變量的取值不同，得到個樣本點對應的響應值y(i)(i=0, 1, …，m-1)，由最小二乘法原理可以得出

β=(XTX)-1XTy

(11)

其中

將試驗設計的變量X和對應的響應值y代入式(11)，即可求出響應面模型中的待定系數，從而得到多項式的響應面模型。

3 槽形梁聲學優化的響應面模型建立

3.1 設計變量及試驗設計

城市軌道交通槽形梁的翼緣板的面積很小，槽形梁也主要由底板和腹板組成，而且槽形梁的結構噪聲也主要由這兩部分引起的[8]，所以把槽形梁的底板厚度和腹板厚度作為響應面法的設計變量，分別用和表示。根據《地鐵設計規范》(GB50157—2013)中的相關要求，底板厚度和腹板厚度的初始值及其變化范圍，如表1所示。

表1 槽形梁結構設計變量初始值和變化范圍Tab.1 The initial value and the variation range of the design variables of trough girder

建立高精度響應面模型較大程度上取決于對設計空間的采樣技術。試驗設計為利用數理統計學與正交性原理，從大量試驗點中選取合適的有代表性點。用正交表合理安排試驗的設計方法。為保證響應面模型的精度和試驗設計的次數，用中心組合設計法對設計空間采樣。聲功率表示的是結構向外輻射噪聲的能力大小，所以把槽形梁輻射噪聲頻率在20～200 Hz內的總聲功率級作為目標響應值，表2中列出了每次試驗的變量取值及響應值。

3.2 響應面模型的建立及誤差分析

根據試驗設計的結果，本文采用最小二乘法對設計變量和響應值進行擬合，得到槽形梁結構輻射總聲功率級關于槽形梁底板厚度和腹板厚度的二次多項式函數，其表達式為：

表2 試驗仿真次數和結果Tab.2 The simulation times and the resules

(12)

為了考察得到的槽形梁結構聲學優化的響應面模型能否用于后續的優化分析，需要對其進行誤差分析以檢驗模型的擬合精度。工程中常用復相關系數R2對響應面模型進行檢驗，并根據統計學原理對響應面模型進行顯著性檢驗。經過計算得，復相關系數R2=0.955>0.9，顯著性檢驗中的p=0.031<0.05，說明本文建立的響應面模型的擬合精度高，擬合得到的響應面模型是可靠的，可以用來后續的優化設計。

4 槽形梁結構聲學優化的結果

針對實際問題，為了保證優化后的槽形梁具有足夠的剛度，并且考慮成本的因素，優化后的槽形梁質量應該不高于初始質量的15%，所以把槽形梁的質量變化作為約束函數，則槽形梁結構聲學優化的數學模型可以表示為：

(13)

式中：m0為槽形梁結構的初始的質量；Δm為在優化過程中槽形梁結構質量的改變量；其表達式為Δm=260.78x1+211.09x2-113.25。

由式(13)可知，該優化問題屬于典型的不等式約束的非線性最小優化問題，序列二次算法是求解這類優化問題最有效的算法之一，編制相應的算法程序，尋找槽形梁聲學最優的截面尺寸，優化后的結果如表3中所示。槽形梁的質量從149.48 t增加到171.34 t，質量增加了14.6%，滿足約束函數的條件。優化后槽形梁輻射的總聲功率級為101.48 dB，而優化前總聲功率級為104.92 dB，降低了3.44 dB，優化結果表明有效的降低了槽形梁在列車荷載作用下向周圍環境輻射噪聲的總能量。

表3 設計變量取值Tab.3 Design variable value

為了驗證響應面模型優化的正確性，把槽形梁結構聲學優化后的底板和腹板厚度代入槽形梁結構分析模型中，利用有限元法和邊界元法計算出槽形梁輻射噪聲頻率在20～200 Hz內的總聲功率級，將響應面模型與數值仿真的計算結果相對比，如表4所示。利用優化后的設計變量計算出的總聲功率級為100.93 dB，與響應面模型的優化結果誤差僅為0.54%，這也說明槽形梁結構聲學優化的響應面模型具有一定的準確性。

表4 各模型計算結果Tab.4 Calculation results of each model

為分析槽形梁聲學優化后的實際降噪效果，圖3和圖4分別給出了優化前后在整個分析頻率范圍內的槽形梁輻射聲功率級的頻譜圖和面聲場總體聲壓級的整體降噪效果圖。

圖3 優化前后槽形梁輻射聲功率級Fig.3 Sound power level of trough girder before and after the optimization

圖4 優化前后面聲場總體聲壓級差值Fig.4 The overall sound pressure level difference of surface sound field before and after the optimization

由圖3可知，在整個分析頻率范圍內，槽形梁輻射噪聲的聲功率級都有不同程度的降低，說明優化后槽形梁向外輻射噪聲的能量也減少了。而且由圖4可以發現，槽形梁經過聲學優化后，面聲場中各場點的總體聲壓級都有不同程度的降低，最大可降低4 dB左右。由此可知，把槽形梁輻射聲功率作為評價指標是可行的，因為槽形梁優化后面聲場總體聲壓級的降噪效果還是比較顯著。

5 結 論

本文基于車橋耦合分析模型，利用有限元法和邊界元法計算軌道交通30 m簡支槽形梁的輻射聲功率，將響應面法與輻射聲功率計算相結合，建立了以槽形梁輻射結構噪聲在分析頻率范圍內的總聲功率級為目標及以槽形梁質量為約束的聲學優化模型，再利用序列二次規劃法進行求解，最終找出了槽形梁結構聲學最優的截面尺寸。優化后槽形梁底板厚度為0.34 m，腹板厚度為0.22 m。計算結果表明，利用響應面法可以有效的對槽形梁進行聲學優化，而且優化后的降噪效果還是比較顯著的。