基于貝塞爾不等式原理的密集模態(tài)阻尼識(shí)別

趙曉丹， 韓俊陽(yáng)， 孫黎明,2， 王西富

(1.江蘇大學(xué) 汽車與交通工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013；2.拖拉機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，洛陽(yáng)拖拉機(jī)研究所有限公司，河南 洛陽(yáng) 471039)

阻尼表征系統(tǒng)振動(dòng)衰減和能量耗散，在結(jié)構(gòu)故障診斷、振動(dòng)與噪聲控制和振動(dòng)實(shí)時(shí)監(jiān)控等課題研究中有重要意義，精準(zhǔn)地識(shí)別阻尼一直是人們研究的重要課題[1-2]。

阻尼識(shí)別的方法眾多[3],工程上常用半功率帶寬法，但是半功率帶寬法受頻率分辨率的限制，在小阻尼的情況下不能準(zhǔn)確地獲取半功率點(diǎn)[4]。為此，文獻(xiàn)[5-7]提出半功率帶寬法的改進(jìn)方法、內(nèi)積法、衰減法等阻尼識(shí)別方法，這些方法能夠準(zhǔn)確地識(shí)別單自由度模態(tài)和非密集模態(tài)的模態(tài)阻尼。但是當(dāng)響應(yīng)信號(hào)中存在密集模態(tài)時(shí)，各模態(tài)之間的干涉嚴(yán)重，上述方法不能有效識(shí)別密集模態(tài)的阻尼比。

密集模態(tài)的阻尼識(shí)別是目前研究的熱點(diǎn)問(wèn)題。針對(duì)密集模態(tài)阻尼的識(shí)別，常見(jiàn)思路是分離出信號(hào)中的多個(gè)“純模態(tài)”，然后分別診斷各“純模態(tài)”的阻尼[8]。這一思路下的方法有小波變換[9]和Hilbert-Huang變換[10]。小波方法具有濾波功能，但是不能完全濾除相近模態(tài)，導(dǎo)致模態(tài)參數(shù)識(shí)別不準(zhǔn)確[11]。Hilbert-Huang變換的關(guān)鍵環(huán)節(jié)是EMD分解，但是當(dāng)模態(tài)之間頻率較為接近時(shí)，EMD方法無(wú)法徹底分離出單個(gè)模態(tài)，同時(shí)存在端點(diǎn)效應(yīng)、分離模態(tài)不完整及模態(tài)混疊等問(wèn)題[12]，限制了Hilbert-Huang變換方法準(zhǔn)確地識(shí)別密集模態(tài)阻尼。國(guó)內(nèi)外最常用的密集模態(tài)阻尼比計(jì)算方法是迭代方法[13-14]。迭代方法的機(jī)制是首先粗略獲取各階模態(tài)估計(jì)項(xiàng)，然后通過(guò)迭代過(guò)程逐步消除各階模態(tài)之間的相互干擾，最后得到各階模態(tài)參數(shù)。迭代方法沒(méi)有改變“首先從原信號(hào)中分離出某一階模態(tài)，然后逐個(gè)獲取各階模態(tài)參數(shù)”這一思路。迭代方法能夠有效地識(shí)別出一定密集程度的模態(tài)阻尼。但是對(duì)于密集程度較高的模態(tài)信號(hào)，迭代法不能有效地分離各階模態(tài)并識(shí)別其參數(shù)。密集模態(tài)的阻尼識(shí)別仍然是一難點(diǎn)問(wèn)題。

區(qū)別于以往思路，本文以貝塞爾不等式原理為理論基礎(chǔ)，在密集模態(tài)附近建立標(biāo)準(zhǔn)正交坐標(biāo)系，計(jì)算響應(yīng)信號(hào)在該坐標(biāo)系上的投影，特性是通過(guò)優(yōu)化獲得的正交基系消除密集模態(tài)間的相互干擾，一次性識(shí)別出密集模態(tài)各階固有頻率和衰減系數(shù)，而不再是要從原信號(hào)中逐個(gè)分離出各階模態(tài)。通過(guò)仿真計(jì)算和油底殼模態(tài)實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證方法的有效性。

1 密集模態(tài)阻尼比識(shí)別

1.1 識(shí)別原理

自由度為的密集模態(tài)響應(yīng)信號(hào)可表示為

(1)

阻尼比ζi與衰減系數(shù)ni及固有頻率ωdi存在如下關(guān)系

(2)

根據(jù)響應(yīng)信號(hào)的階數(shù)M，在密集模態(tài)附近構(gòu)造基函數(shù)系：

{g1(t),g2(t),…,g2i-1(t),g2i(t),…,g2M(t)}

(3)

其中:

設(shè)置采樣頻率為fs，采樣點(diǎn)數(shù)為N。信號(hào)x(t)離散為向量x

(4)

式中：k=0,1,2,…,N-1，Δt為采樣時(shí)間間隔，且Δt=1/fs。

基函數(shù)系{g1(t),g2(t),…,g2i-1(t),g2i(t),…,g2M(t)}轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的向量系，表示為：

(5)

式中：k=0,1,2,…,N-1，Δt為采樣時(shí)間間隔，且Δt=1/fs。

使用施密特方法將向量系{g1,g2,…,g2i-1,g2i,…,g2M}正交化：

(6)

將正交向量系{h1,h2,…,h2M}單位化:

(7)

得到一組標(biāo)準(zhǔn)正交系{u1,u2,…,u2M}。

將響應(yīng)信號(hào)x(t)對(duì)應(yīng)的向量x與標(biāo)準(zhǔn)正交系{u1,u2,…,u2M}中各向量做內(nèi)積運(yùn)算，并計(jì)算內(nèi)積模平方和，即：

(8)

若{eλ|λ∈Λ}是內(nèi)積空間(H)中的標(biāo)準(zhǔn)正交基，且x∈H，則貝塞爾不等式成立[15]：

(9)

式(8)中，根據(jù)貝塞爾不等式，有：

(10)

(11)

(12)

式(10)的幾何意義為：空間中向量x在一標(biāo)準(zhǔn)正交基{u1,u2,…,u2M}各基向量上投影的平方和小于等于其自身長(zhǎng)度的平方。當(dāng)向量x與標(biāo)準(zhǔn)正交系{u1,u2,…,u2M}線性相關(guān)時(shí)，式(10)等號(hào)成立。

1.2 優(yōu)化搜索目標(biāo)函數(shù)最大值

遺傳算法具有全局收斂性,但是在局部區(qū)域的搜索能力較差，搜索速度較慢，搜索結(jié)果具有一定的隨機(jī)性[16]。擬牛頓法能快速獲取局部區(qū)域最優(yōu)解，但是在多峰值的全局搜索中并不適用[17]。本文結(jié)合兩者優(yōu)點(diǎn)，使用遺傳算法優(yōu)化搜索到包含目標(biāo)函數(shù)最大值的局部鄰域，將遺傳算法的搜索結(jié)果作為初始值，采用擬牛頓法局部?jī)?yōu)化搜索目標(biāo)函數(shù)最大值，獲取密集模態(tài)信號(hào)固有頻率和衰減系數(shù)的精確解。

(1)遺傳算法全局優(yōu)化搜索

(2)擬牛頓法局部?jī)?yōu)化搜索

步驟2：計(jì)算

(13)

同時(shí)，設(shè)定k=1,H(1)=E2N,其中，E2N為單位矩陣。

步驟3：令p(k)=-H(k)d(k)。

步驟4：求解方程

Y(z(k)+λkp(k))=maxY(z(k)+λp(k))

(14)

獲取一維搜索的最優(yōu)步長(zhǎng)λk。同時(shí)，令

z(k+1)=z(k)+λkp(k)

(15)

步驟6：計(jì)算

(16)

式中:Δz(k)=z(k+1)-z(k)，Δd(k)=d(k+1)-d(k)。令k=k+1，返回步驟3。

2 仿真算例

假設(shè)存在一個(gè)三自由度的自由衰減響應(yīng)信號(hào)

阻尼比ζ1、ζ2、ζ3分別為0.006 3、0.007 5、0.008 6。為了考察本文方法能否準(zhǔn)確識(shí)別密集程度不同的模態(tài)信號(hào)的阻尼。頻率f1、f2、f3取三組不同數(shù)值：第一組取為100、105、110 Hz；第二組取為102.2、105、107.8 Hz；第三組取為104.1、105.5、106.8 Hz。得到密集程度不同的三組信號(hào)。圖1為三組信號(hào)的頻域圖。觀察圖1，三組信號(hào)的密集程度由低到高。設(shè)置采樣頻率2 000 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)2 048點(diǎn)。

采用本文方法識(shí)別三組信號(hào)的各階模態(tài)阻尼比。在使用遺傳算法搜索目標(biāo)函數(shù)最大值時(shí)，設(shè)定種群規(guī)模為20，個(gè)體基因數(shù)為34，交叉概率為0.5，變異概率設(shè)置為0.01。遺傳到2 000代時(shí)，搜索終止，初步獲取各階固有頻率和衰減系數(shù)。進(jìn)一步采用擬牛頓法優(yōu)化搜索局部最大值，根據(jù)相應(yīng)的各階固有頻率和衰減系數(shù)計(jì)算各階阻尼比。計(jì)算結(jié)果如表1所示。

為了進(jìn)行對(duì)比，同時(shí)使用迭代法[14]診斷三組信號(hào)的各階模態(tài)阻尼比。設(shè)定迭代次數(shù)為50。診斷結(jié)果如表2所示。

對(duì)比觀察表1和表2可知：迭代方法可以較為準(zhǔn)確地診斷出密集程度較低的第一組信號(hào)的各階模態(tài)阻尼，阻尼比識(shí)別誤差在0.5%以內(nèi)。而對(duì)于密集程度較高的第二組信號(hào)和第三組信號(hào)，內(nèi)積迭代方法不能準(zhǔn)確地識(shí)別出信號(hào)的模態(tài)阻尼比。特別地，對(duì)于密集程度很高的第三組信號(hào)，阻尼比的識(shí)別誤差甚至達(dá)到了295.7%，識(shí)別結(jié)果失真。

本文方法精確地識(shí)別出了密集程度不同的三組信號(hào)的阻尼比。三組信號(hào)的各階阻尼比識(shí)別誤差均保持在0.001 3%以內(nèi)。上述結(jié)果表明，本文方法不受模態(tài)密集程度的影響，對(duì)于密集程度不同的模態(tài)信號(hào)，阻尼比的識(shí)別結(jié)果都較為準(zhǔn)確。

圖1 密集模態(tài)信號(hào)頻域圖Fig.1 Spectrum of closely spaced modes

表1 本文方法的密集模態(tài)阻尼比識(shí)別結(jié)果Tab.1 Closely spaced modes damping ratio estimation with method based on bessel inequality

表2 內(nèi)積迭代法的密集模態(tài)阻尼比計(jì)算結(jié)果Tab.2 Closely spaced modes damping ratio estimation using inner product and iterative algorithm

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

油底殼的輻射噪聲在發(fā)動(dòng)機(jī)噪聲中占有很大比例，準(zhǔn)確識(shí)別油底殼的阻尼對(duì)于油底殼噪聲控制具有實(shí)際意義[18]。油底殼的振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)中存在密集模態(tài)信號(hào)。

對(duì)某型號(hào)發(fā)動(dòng)機(jī)的油底殼進(jìn)行阻尼識(shí)別實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)過(guò)程如下：使用橡皮繩索將油底殼懸掛于支架上，油底殼上安裝加速度傳感器，加速度傳感器的型號(hào)為B&K4321，圖2為實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)照片；用型號(hào)為B&K8848的力錘敲擊油底殼中部，使用優(yōu)泰uTekL 2009型數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)采集振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)，采樣頻率為2 000 Hz，采樣獲得的時(shí)域曲線，見(jiàn)圖3。

圖2 油底殼實(shí)驗(yàn)照片F(xiàn)ig.2 The photo of oil pan experiment

圖3 響應(yīng)信號(hào)時(shí)域圖Fig.3 Time domain spectrum of response signal

圖4 響應(yīng)信號(hào)頻域圖Fig.4 Frequency spectrum of response signal

對(duì)時(shí)域信號(hào)做時(shí)頻變換，獲取響應(yīng)信號(hào)的頻域圖如圖4所示。觀察響應(yīng)信號(hào)的頻域圖發(fā)現(xiàn)：響應(yīng)信號(hào)中450～650 Hz內(nèi)存在密集模態(tài)，且在530～540 Hz附近存在一幅值很小的模態(tài)信號(hào)，這一階模態(tài)信號(hào)的阻尼識(shí)別容易受兩側(cè)模態(tài)的干擾。

采用本文方法識(shí)別密集模態(tài)信號(hào)的固有頻率和阻尼比。診斷結(jié)果如表3所示。

表3 油底殼阻尼比識(shí)別結(jié)果Tab.3 Identification results of an oil pan damping ratio

為了驗(yàn)證識(shí)別結(jié)果的準(zhǔn)確性，根據(jù)診斷出的固有頻率和阻尼比信息重構(gòu)各階模態(tài)信號(hào)，從原信號(hào)中依次削減識(shí)別出的各階模態(tài)信號(hào)。若某階模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果不準(zhǔn)確，則此階模態(tài)不能被完全削減，頻域圖上殘留“剩余峰值”；反之，若識(shí)別結(jié)果準(zhǔn)確，則此階模態(tài)能被削減，頻域圖上也不存在明顯的“剩余峰值”。

圖5為各階模態(tài)被削減后的剩余信號(hào)頻域圖，觀察發(fā)現(xiàn)：頻域圖上的每一階模態(tài)都能被有效削減，不存在明顯的“剩余峰值”，這表明識(shí)別出的固有頻率和阻尼比的結(jié)果準(zhǔn)確。

圖5 剩余信號(hào)的頻域圖Fig.5 Frequency spectrum of the remaining signal

4 結(jié) 論

(1)本文構(gòu)建標(biāo)準(zhǔn)正交系，計(jì)算密集模態(tài)在正交系上的投影。根據(jù)貝塞爾不等式，當(dāng)投影最大時(shí)，密集模態(tài)信號(hào)與標(biāo)準(zhǔn)正交系線性相關(guān)，獲取相應(yīng)的各階模態(tài)固有頻率和衰減系數(shù)，同時(shí)采用遺傳算法結(jié)合擬牛頓法優(yōu)化搜索密集模態(tài)在正交系上的投影最大值，得到各階模態(tài)固有頻率和衰減系數(shù)精確解，最后求解出各階阻尼比。

(2)本文方法識(shí)別阻尼的進(jìn)步意義在于其不受模態(tài)密集程度的限制，理論上該方法能夠準(zhǔn)確地識(shí)別出任意密集程度的模態(tài)信號(hào)的阻尼。

(3)經(jīng)仿真計(jì)算和油底殼模態(tài)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，該方法可準(zhǔn)確識(shí)別出油底殼響應(yīng)信號(hào)中密集模態(tài)的模態(tài)參數(shù)，具有理論價(jià)值和工程應(yīng)用價(jià)值。