線性彈簧組合式振動時效裝置的3次超諧共振特性分析

李俊明， 蔡敢為， 黃院星， 李巖舟

(1. 廣西大學 土木建筑工程學院，南寧 530004；2.廣西大學 機械工程學院，南寧 530004；3.廣西科技大學人事處，廣西 柳州 545006；4.廣西大學 電氣工程學院，南寧 530004)

振動時效(Vibratory Stress Relief， VSR)是一種消除殘余應力的方法，實際上是通過振動的形式給工件施加一個動應力，當動應力與殘余應力疊加達到或超過材料的屈服極限時[1-2]，工件產生塑性變形而釋放應力，有利于提高工件的使用強度、減少變形和穩定精度。特別是在節省時間、能源和費用上具有明顯的效果[2-4]。因此在國家倡導節能減排、綠色發展，鼓勵工藝技術裝備更新改造形勢下，進一步研究振動時效技術具有十分重要的意義。

振動時效裝置[5]是將一個具有偏心質量的激振器安放在待處理的工件上，通過控制器起動電機并調節其轉速使工件處于共振狀態[6]，約經20～30 min的振動處理即可達到調整殘余應力的目的。振動時效技術適應范圍廣，從幾公斤的小型構件到一、二千噸的海洋平臺等大型構件[7-11]。盡管適用范圍廣，但仍有其局限性。偏心質量激振器雖具有結構簡單、造價低、便攜、激振力大且可調節等優點，但受其性能限制激勵頻率范圍均在200 Hz以下[12-13]。

大型剛性零件的制備往往會產生很大的殘余應力，同時為了保證設備的工作精度，要求這些工件具有較高的剛度，如冶金軋輥、銑床的橫梁和立柱等。文中高頻率工件是指固有頻率大于200 Hz的冶金軋輥、銑床的橫梁和立柱等這樣高剛度的金屬工件。現行的振動時效技術很難消除其殘余應力。

為解決高頻率工件振動時效問題，研究者提出了工件串(并)聯接降頻法、懸臂法、振動臺法等，這些方法得到的整體系統具有較低固有頻率，可以實現在低頻率激勵下產生共振。在整體系統的振動中，雖然高剛度工件振幅很大，但只是隨著整體結構振動作剛體運動，并未發生共振，不會產生振動時效所需要的彈性變形和動應力。因此，這些方法難以取得預期效果。

蔣剛等[14-15]提出并研究了一種高頻振動時效。從微觀角度分析[15]，高頻振動時效是指通過外界輸入能量使金屬原子回到原先的平衡位置上，從而實現晶格畸變減少，殘余應力消除。現行的振動時效技術是通過外界輸入能量增加材料內部的位錯，位錯的增殖導致局部塑性變形，釋放殘余應力。顯然兩者微觀機理不同。

蔡敢為等[16]提出了高固有頻率工件的超諧共振式振動時效裝置并取得了發明專利。超諧共振式振動時效裝置是指由現行的低頻率偏心輪機構激振器作用于非線性振動系統，利用非線性系統的超諧共振特性，以接近工件固有頻率的響應頻率進行激勵，從而實現高頻率工件主共振。但專利中并未具體提出采用什么類型的非線性系統來有效實現超諧共振式振動時效裝置，仍需深入研究。

圓柱不等截距螺旋彈簧、圓錐螺旋彈簧、空氣彈簧等非線性彈簧都可以產生非線性振動，但目前利用這類彈簧的超諧式振動時效裝置仍很少。即使非線性彈簧可以實現超諧共振，但非線性彈簧制造工藝復雜，非線性參數難控制、不可調節等這些問題限制了超諧共振式振動時效技術滿足不同固有頻率工件的需要。

線性彈簧按特定方式組合也可以產生非線性特性，比如分段線性彈簧。本文提出利用線性彈簧來實現超諧共振，設計并研究一種線性彈簧組合振動裝置，在此基礎上就其非線性彈力特性進行分析，應用多尺度理論對其3次超諧共振的振動機理進行探討。

1 線性彈簧組合式振動時效裝置及原理

圖1(a)所示線性彈簧組合式振動時效裝置，包括1、高頻率工件，2、基座，3、激振塊，4、偏心質量激振器，5、剛性槽體結構和三個同剛度等長度的彈簧。高頻率工件兩端剛性固定于基座，三個彈簧一端連接激振塊，另外一端固定在基座上。剛性槽體結構與激振塊結構如圖1(b)，主要約束激振塊僅在垂直方向振動。激振器剛性裝卡于激振塊內，是整個系統的激勵來源。含激振器的激振塊與三個彈簧組合構成一個線性彈簧組合質量系統。

圖1 線性彈簧組合式振動時效裝置：Fig.1 VSR equipment combined linear springs

受到激振器的激勵，激振塊在三個彈簧的作用下產生垂直方向的非線性振動，在低頻激勵下可以響應出3倍于激勵頻率的高頻頻率，產生3次超諧共振，激振塊以接近工件固有頻率的響應頻率去激勵工件，從而實現高頻率工件的主共振。

2 線性彈簧組合質量系統的非線性特性

2.1 非線性彈力

質量為M激振塊由三個剛度系數均為K、長度均為L彈簧支承，這里激振塊質量M是包含激振器質量在內的總質量。初始狀態時，彈簧均保持自然長度，水平方向的兩個彈簧與激振塊同在一條直線，垂直方向的彈簧垂直此直線。以x為位移，以激振塊在靜平衡位置為原點，豎直向下為正方向，建立坐標軸，如圖2。

圖2 線性彈簧組合質量系統垂直方向振動模型Fig.2 Model of the linear springs combination mass systemvibration in the vertical direction

激振塊在重力作用下，會發生微小的位移Δx，在點a處達到靜平衡狀態，此時水平彈簧與水平方向夾角α。根據靜平衡狀態，可得

(1)

式中Δ2x=Δx·Δx。

激振塊在外力作用下產生一個大位移，在點b處達到平衡狀態，此時外力突然消失。結合式(1)，則有

(2)

這里，Fk為指向平衡位置的恢復力。

略去高階無窮小量后，

(3)

靜平衡狀態時，激振塊只發生了微小位移Δx?L，Δx→0，所以式(3)等價于

(4)

綜上可知，水平方向兩個彈簧對質量塊的作用力始終保持大小相等，方向相反；垂直方向的恢復力是非線性的。這是非線性彈力的理論基礎。

2.2 固有頻率

質量為M激振塊由三個彈簧支承，并處于靜平衡位置，如圖3所示。這里的激振塊的質量M含激振器質量的總質量，彈簧為僅具有剛度的無質量彈簧，且K1=K2=K3=K。三個彈簧一端連接激振塊，另外一端固定，構成一個線性彈簧組合質量系統，激振塊只在平面內作微振動，不存在耗散能力和加進能力的廣義力，這是一個保守系統。

圖3 線性彈簧組合質量系統Fig.3 The linear springs combination mass system

設l1是激振塊M的位移在彈簧K1軸線方向上的投影，對于微振動，可以認為恢復力總沿著原來彈簧軸線方向。令彈簧K1軸線方向的余弦為(cosα,sinα)，則彈簧K1的勢能為

(5)

則系統的總勢能為

(6)

系統的動能：

(7)

利用朗格朗日方程建立系統的運動微分方程。自由度的拉格朗日方程為：

(8)

式中：a11=cos2α+cos2β+cos2γ，

a12=a21=sinαcosα+sinβcosβ+sinγcosγ，

a22=sin2α+sin2β+sin2γ。

根據2.1的討論可知，靜平衡時可取α=0，β=180，γ=270，可得

(9)

設主振動為

(10)

式中：ω0為系統振動的固有頻率。φ1,φ2為振幅，φ為相位角。代入方程(9)，得

特征方程為

(11)

由此解出

(12)

式中ω01,ω02為系統振動的固有頻率。

相應的主振型可取為

(13)

說明系統以第一階固有頻率振動時只作沿著x2方向即垂直方向振動，且不產生x1方向即水平方向振動。證明圖1所示的線性彈簧組合式振動時效裝置的合理性和有效性。

2.3 3次超諧共振

圖4所示是一個包含偏心質量激振器的線性彈簧組合質量系統的力學模型，設含激振器的激振塊總質量為M，激振器的偏心質量為m，偏心距是e，轉子的角速度為ω，彈簧剛度系數均為K、長度均為L。

圖4 線性彈簧組合質量系統的力學模型Fig.4 The linear springs combination mass system mechanical model

用坐標x表示質量塊離開平衡位置的垂直位移，根據達朗伯原理得到系統在垂直方向的運動微分方程為：

(14)

(15)

則方程(15)可寫為

(16)

采用多尺度法討論非線性振動的近似解，設方程式(16)一次近似解為

x(t,ε)=x0(T0,T1)+εx1(T0,T1)

(17)

式中：T0=t，T1=εt表示不同尺度的時間變量。

設Di=?/?Ti,(i=0,1)，將方程式(17)代入方程式(16)，令等式兩端ε0和ε1的系數相等，可得

(18)

(19)

設方程式(18)的通解的復數形式為

(20)

(21)

式中：cc表示其左邊各項的共軛復數。

根據非線性振動理論[17-18]，方程式(21)的右邊各項中，不僅含eiω0T0，還含有ei(2ω0-ω)T0，e3iωT0,eiωT0項，當3ω≈ω0時產生的共振稱為超諧共振。

為了說明線性彈簧組合質量系統3次超諧共振響應特性，選取一組基本參數：含偏心質量激振器質量塊總質量M=0.046 2 t，其中激振器的偏心質量m=0.015 6 t，偏心距e=150 mm，彈簧剛度系數均K=96 035 N/mm,材料密度ρ=7.8×10-9t/mm3，彈性模量E=210 000 MPa，泊松υ=0.3。

根據方程式(12)可得線性彈簧組合質量系統的固有頻率ω0=229.58 Hz，系統在簡諧激勵下的響應如圖5～6。可見，當激勵頻率ω=ω0=229.58 Hz時，系統的振幅隨時間無限增大即共振時的振動響應，如圖5。當激勵頻率ω=76.53 Hz≈ω0/3時，系統的響應中包含3ω頻率的振動，產生了3次超諧共振響應，最大位移約8.4 mm，如圖6。

圖5 ω=229.58 Hz響應圖Fig.5 Time-displacement response for ω=229.58 Hz

圖6 ω=76.53 Hz響應圖Fig.6 Time-displacement response for ω=76.53 Hz

3 案例與討論

以?920 mm×3 000 mm冶金軋輥(圖7)作為振動時效處理的工件，選取一組軋輥基本參數：材料密度ρ=7.8×10-9t/mm3，彈性模量E=210 000 MPa，泊松比v=0.3。振動時效裝置如圖1，借助ABAQUS軟件仿真獲得軋輥的固有頻率為ω0=229.58 Hz。激振塊(含激振器)總質量選取M=0.462 t，通過控制器起動激振器并調節其轉速ω=76.53 Hz≈ω0/3，軋輥在激振塊激勵下，振幅、動應力響應，如圖8～11。

圖7 軋輥結構尺寸(mm)Fig.7 Structure sizeof the roll(mm)

根據圖6，激振塊3次超諧共振產生位移較小，初始狀態時可保持激振塊與軋輥接觸但不存在相互作用，兩者的初始位移和初始速度都為零。振動過程中，激振塊與軋輥分為接觸階段和非接觸階段。接觸階段，在激振塊激勵下軋輥發生強迫振動，其響應是自由伴隨振動和穩態振動的疊加；非接觸階段，軋輥進行自由振動。接觸振動主要發生在正向位移，非接觸主要發生在負向位移，正向位移值大于負向位移值主要是正向振動中存在激振塊與軋輥碰撞激勵造成，如圖8所示。

振動初期，軋輥在激振塊的激勵下開始振動，所以振動初期主要表現為過渡階段的強迫振動響應。軋輥與激振塊分離后，進行自由振動且振幅隨時間逐漸增大，振動周期更加明顯，從圖8可以看出，T≈0.004 36=1/229.58。

圖9中229.58 Hz的幅值很微弱，76.53 Hz出現明顯峰值。因為振動初期，激振塊在激振器激勵下，3次超諧響應還不明顯，但隨著時間增加，圖10可以看到，229.58 Hz出現明顯峰值，幅值顯著增大，76.53 Hz振幅減弱。

選擇軋輥輥面一條母線為對象，其上各點產生的位移和動應力如圖11。沿軋輥長度方向動應力值分布呈中間大、兩端小狀，與兩端固定等截面梁的第一階振型[19]基本一致。

綜合上述分析，軋輥實現了第一階固有頻率的主共振。高剛度軋輥的屈服極限約450～600 MPa，殘余應力一般約50～200 MPa，結合圖11可知，動應力足夠滿足振動時效條件達到消除殘余應力的目的。

圖8 軋輥振幅響應圖Fig.8 Time-displacement response of the roll

圖9 第0.1 s～0.2 s幅頻響應圖Fig.9 Amplitude versus frequency response from 0.1 s to 0.2 s

圖10 第0.65 s～0.75 s幅頻響應圖Fig.10 Amplitude versus frequency response from 0.65 s to 0.75 s

圖11 輥面位移、動應力響應圖Fig.11 Stress-displacement response along the roll

4 結 論

本文提出的線性彈簧組合式振動時效裝置，通過研究發現：

(1)線性彈簧組合質量系統在垂直方向的恢復力是立方形式的非線性力，非線性項系數與彈簧剛度和長度有關。系統在垂直方向振動的固有頻率只取決于激振塊的質量和彈簧剛度，與彈簧長度無關。

(2)激振塊在較低頻率激勵下，經過三個彈簧組合聯合作用，產生3次超諧共振，激振塊以其響應的頻率激勵高頻率工件，高頻率工件俘獲其主共振頻率，從而實現共振。

(3)偏心質量激振器是整個振動時效裝置的激勵來源，為了保證水平方向不受外力擾動，可以采用雙軸式慣性激振器，只產生垂直方向的離心力。