關于方同軸線的一些研究

金少華 電子科技大學電子科學與工程學院 四川成都 610054

1.引言

作為一種時域模擬方法，時域有限差分法幾乎可以分析所有電磁問題。波導器件結構比較復雜，一般方法很難分析，由于時域有限差分法靈活高效，可以方便地處理這些結構，時域分析各種波導傳輸線和波導不連續結構還可以應用時域有限差分法分析介質諧振器、波導耦合器和w波段濾波器等等。隨著微波集成電路和單片微波集成電路的興起，人們對時域模擬這類電路越來越感興趣電路中可以具有有源和無源器件，也可以具有線性和非線性器件。因此，本文基于有限差分法研究方同軸線的色散特性，并和CST仿真結果進行對比，驗證了有限差分法的優勢和可行性

2.方同軸線色散問題

用有限差分法求下圖所示四種傳輸線最低兩個TM模的色散特性曲線，畫出模式的橫截面電磁場分布圖。設b=5mm，ρ=a/b，ρ的取值范圍為0. 3～0.7。

3. 有限差分法原理

假設同軸線壁由純導體(σ→∞)構成，在同軸線中無自由電荷和傳導電流(=0ρ，J=0)，同軸線間為真空，同軸線工作在匹配狀態且截面均勻，所以在分析時僅考慮入射波。現只分析兩個最低的TM模。將問題的求解歸結為求解相應縱向分量zE所描述的定解問題。以φ標記相應縱向分量，在波導內， TM波滿足的氦姆霍茲方程及邊界條件為

(1)對同軸線橫截面進行網格離散化，如圖2所示。設互方向和Y方向的步長相等。取h=0.5mm，a=3mm，b=5mm，對網格進行離散化。導出赫姆霍茲方程的差分形式。設場內某節點0處附近的各節點如圖3所示，取步長不相等的一般情況，以 φ0、 φ1φ2φ3φ4分別代表在節點0、1、2、3、4處φ函數值

為了得到比較精確的差分格式，引入待定常數α、β對泰勒展開，構造如下關系式：

令系數為0，得到、之間滿足

代入（2）式，舍去高階項，得到 在式（2）中若令項系數為0，則得到、之間的關系：

將（5）式代入（2）式并忽略三階以上的高次項，得：

同理可得：

（6）代入（7）得：

當 h1= h2= h3= h4= h ， 式（8） 就 可 以 簡 化φ1+ φ2+ φ3+ φ4- 4 φ0= - ( kch)2φ0(9)

對導線外壁及邊界C處，若網格線恰好和邊界相重，則對任一邊界上的節點a而言，令φ=Ez，則：f（10）

將上述各個差分格式分別應用于相應的網格節點，便可以得到以網格節點上待求場量φi(i=0,1,2,3...n)為未知數的n+1個差分方程，由此構成的差分方程組可用矩陣的形式表示為：[k][φ] = λ[ φ](11)

將上述問題歸結為一矩陣的特征值問題。式中[K]為系數矩陣，[φ]是以網格節點上的待求場量φi為分量的列向量，而數值：（12）為特征值，稱為截止波長。

由上述差分方程組求出所有的特征值。取出所有特征值中的最小值和次小的兩個值，就可以求得兩個最低TM模所對應的 k 值，由于并且得到cc(13) 即方形同軸線TM模的色散方程。

利用有限差分法離散化網格，取a=3mm，b=3mm，設x方向和y方向的步長相等，選取步長為h，頻率范圍在30G HZ- 6 0GHZ，采用Matlab仿真，得到方同軸線中TM波第一高次模，TM波第二高次模的色散曲線β～f以及橫截面的電場和磁場圖像如下所示： N=39，h=1/4(mm)x和y方向均為40格，matlab模擬圖像如下：

4 軟件仿真和數值模擬結果比較

4.1 數值模擬結果和仿真結果

CST仿真結果如下；

上圖依次分別是：TM第一高次模（E、H圖）截止頻率；TM第二高次模（E、H圖）截止頻率；TM第一高次模E圖 ；TM第二高次模E圖；

6.總結

有限差分法是以差分原理為基礎的一種數值方法，它實質上是將電磁場連續域問題變換

成離散系統的問題來求解，也就是通過網格狀離散化模型上各離散點的數值解來逼近連續場域的真實解。

本次報告說明，有限差分發確實可以用于求解電磁場連續域問題，并且解的精度和網格剖分數目，即步長有關，步長越小，求解結果越準確。