加工誤差對面齒輪接觸特性影響分析

李曉貞，盛冬平，張棟林

（1.常州工學院 機械與車輛工程學院，常州 213002；2.南京航空航天大學 機電學院，南京 210016）

0 引言

面齒輪傳動是圓柱齒輪與圓錐齒輪相嚙合、實現空間相交或交錯傳動的一種新型齒輪傳動，它是采用漸開線插刀經范成加工而成。應用面齒輪傳動技術的直升機主減速器動力分流傳動裝置與采用錐齒輪傳動的傳統裝置相比，具有支撐結構簡單、重量輕、振動噪音小、動力分流效果好等優點。

國外自上世紀80年代已開始對面齒輪傳動技術進行相關研究，據報道，2009年11月23日首飛成功的Apache BlockⅢ采用了面齒輪分扭傳動。國內對面齒輪的研究始于上世紀末，并由南京航空航天大學與2006年成功研制國內第一臺面齒輪插齒機。對于大功率、高轉速、高精度的航空傳動而言，面齒輪的加工誤差將對其傳動性能產生重大影響。

本文對面齒輪插齒加工進行仿真，考慮加工過程中刀具安裝誤差，得到含加工誤差的面齒輪齒面，并對有誤差的面齒輪傳動接觸特性進行分析。

1 面齒輪加工坐標系

面齒輪插齒加工過程時，加工誤差主要來自插齒機床自身誤差和工件安裝誤差引起，而機床自身誤差最終體現為插齒刀具安裝誤差，可將工件安裝誤差轉換為插齒刀具的相對安裝誤差，因此，加工誤差可認為是工件標準安裝，由插齒刀具的安裝誤差引起的。插齒刀具的安裝誤差分為位置誤差和交角誤差兩類。

刀具安裝的位置誤差的坐標關系如圖1所示，OFXFYFZF為標準安裝的工件固定坐標系坐標系，工件繞軸OFZF以角速度ωf轉動；OMXMYMZM為標準安裝的插齒刀具的固定坐標系，標準安裝刀具繞軸OMZM以角速度ωm轉動；OT1XT1YT1ZT1為具有水平方向位置誤差的插齒刀具固定坐標系，插齒刀具繞軸OT1ZT1以角速度ωt1轉動；OT2XT2YT2ZT2為具有垂直方向位置誤差的插齒刀具固定坐標系，插齒刀具繞軸OT2ZT2以角速度ωt2轉動。參數a和b分別為插齒刀相對于標準安裝的水平方向和垂直方向的偏置誤差，參數d為插齒刀具齒寬中心面與面齒輪軸截面OFYFZF之間的距離。

圖1 位置偏差坐標系

刀具安裝的交角誤差的坐標關系如圖2所示，OFXFYFZF為標準安裝的工件固定坐標系坐標系，工件繞軸OFZF以角速度ωf轉動；OMXMYMZM為標準安裝的插齒刀具的固定坐標系，標準安裝刀具繞軸OMZM以角速度ωm轉動；OT3XT3YT3ZT3為在水平面內具有交角誤差的插齒刀具固定坐標系，插齒刀具繞軸OT3ZT3以角速度ωt3轉動；OT4XT4YT4ZT4為在垂直垂直面內具有交角誤差的插齒刀具固定坐標系，插齒刀具繞軸OT4ZT4以角速度ωt4轉動。參數εa和εb分別為插齒刀相對于標準安裝在水平面和垂直面內的交角誤差，參數d為插齒刀具齒寬中心面與面齒輪軸截面OFYFZF之間的距離。

圖2 交角誤差坐標系

2 標準面齒輪齒面方程

標準面齒輪是在工件和插齒刀均標準安裝狀態下，加工得到的面齒輪。此時，插齒刀的固定坐標系為OMXMYMZM，隨動坐標系為OmXmYmZm，插齒刀繞軸OMZM以角速度ωm轉動，轉角為m?；工件的固定坐標系為OFXFYFZF，隨動坐標系為OfXfYfZf，插齒刀繞軸OFZF以角速度ωf轉動，轉角為。加工過程中，以插齒刀具齒面為產形面，應用范成原理，包絡加工得到面齒輪齒面。

插齒刀具為漸開線直齒圓柱齒輪，其齒廓坐標系如圖3所示。

圖3 刀具齒廓坐標系

刀具齒廓曲面方程為：

式1中：rk為齒面上k點的失徑，rk=rb/cosak，ak為齒面上k點的壓力角，rb為插齒刀基圓半徑，kθ為Y軸與失徑rk的夾角，其值為：

式中的“±”表示插齒刀左右兩齒廓。表示為齊次矩陣形式為：

由圖1所示的坐標關系，得到標準安裝的插齒刀隨動坐標系OmXmYmZm到工件隨動坐標系OfXfYfZf的齊次坐標轉換矩陣：

MMm為標準安裝刀具隨動坐標系OmXmYmZm到標準安裝刀具固定坐標系OMXMYMZM的齊次轉換矩陣，MFM為坐標系OMXMYMZM到坐標系OFXFYFZF的齊次轉換矩陣，MfF為坐標系OFXFYFZF到坐標系OfXfYfZf的齊次轉換矩陣。

經坐標轉換后，得到刀具產形面的曲面方程為：

插齒加工時，刀具產形面與面齒輪的包絡條件為：

因此，標準面齒輪齒廓曲面方程為：

通過Matlab2007進行數值仿真，得到面齒輪齒廓如圖4所示。

圖4 標準面齒輪齒廓曲面

3 加工誤差的面齒輪接觸特性影響

通常情況下，面齒輪加工誤差同時包括偏置誤差和軸交角誤差，且偏置誤差和交角誤差中既有水平方向的誤差，也有垂直方向的誤差，但在推導過程中，可將復雜的誤差形式分解為垂直方向的位置誤差、水平方向的位置誤差、垂直面內的交角誤差和水平面內的交角誤差，因此，在推導含加工誤差的面齒輪齒面方程時，也僅考慮這四種情況。

4 垂直面內位置誤差

垂直面內的位置誤差是由插齒刀沿標準安裝插齒刀的Y軸方向偏移距離a，如圖1所示。

因刀具仍為漸開線齒廓，故刀具齒廓方程在刀具隨動坐標系Ot2Xt2Yt2Zt2中的表達式與式(1)相同，僅將下標m改為t2，其齊次矩陣形式為：

由圖1所示的坐標關系，得到具有垂直面內位置誤差的刀具隨動坐標系Ot2Xt2Yt2Zt2到工件隨動坐標系OfXfYfZf的齊次轉換矩陣：

式中：MT2t2為刀具隨動坐標系Ot2Xt2Yt2Zt2到刀具固定坐標系OT2XT2YT2ZT2的齊次轉換矩陣，MMT2為刀具固定坐標系OT2XT2YT2ZT2到刀具標準安裝時固定坐標系OMXMYMZM的齊次轉換矩陣，MFM為坐標系OMXMYMZM到工件固定坐標系OFXFYFZF的齊次轉換矩陣，MfF為坐標系OFXFYFZF到坐標系OfXfYfZf的齊次轉換矩陣。

轉換矩陣MMT2是由垂直面內的安裝誤差決定的，其表達式為：

具有安裝誤差的刀具產形面經坐標轉換后，得到刀具產形面的面族方程為：

具有安裝誤差的插齒刀齒面與面齒輪齒面的包絡條件為：

因此，由具垂直面內位置誤差的刀具包絡得到的面齒輪齒面方程為：

考慮加工誤差時，具有安裝誤差的插齒刀齒面與由該插齒刀具包絡產生的面齒輪的接觸線方程為：

將面齒輪的接觸線方程與圓柱齒輪對媒介齒輪的包絡條件聯立，得到政教面齒輪齒廓上接觸點方程：

用Matlab2007進行數值仿真，得到在垂直面內位置誤差a為0mm、1mm和-1mm時的面齒輪齒廓和接觸軌跡，分析垂直面內位置偏差對加工得到的面齒輪傳動接觸點位置的影響，仿真結果如圖5所示。

圖5 考慮垂直面內偏置誤差對接觸點位置的比較

水平面內的位置誤差是由插齒刀沿標準安裝插齒刀的X軸方向偏移距離b，如圖1所示。

水平面內位置誤差加工得到的面齒輪齒廓的方法與垂直面內位置誤差得到面齒輪齒廓的方法類似，其區別在于具有水平面內位置誤差的刀具隨動坐標系Ot1Xt1Yt1Zt1到工件隨動坐標系OfXfYfZf的其次轉換矩陣Mft1，其表達式為：

刀具固定坐標系OT1XT1YT1ZT1到標準安裝時刀具固定坐標系OMXMYMZM的坐標變換矩陣MMT1，由水平面內位置安裝誤差b決定，表達式為：

應用Matlab2007進行數值仿真，得到在水平面內具有位置誤差b為0mm、1mm和-1mm時的面齒輪齒廓和接觸軌跡，分析水平面內位置偏差對加工得到的面齒輪傳動接觸點位置的影響，仿真結果如圖6所示。

由圖5和6可知，垂直面內偏置誤差會引起面齒輪輪齒沿軸向上升或下降，水平面內偏置誤差會讓面齒輪輪齒周向偏移，但對面齒輪傳動時接觸點在齒廓上相對位置的影響比較細微。

圖6 考慮水平面內偏置誤差對接觸點位置的比較

水平面內交角誤差是指插齒刀軸線在水平面內與標準安裝時刀具軸線有一定夾角aε，如圖2所示。

由具有水平面內交角誤差的刀具加工得到面齒輪齒廓的方法與前述的方法相同，區別在于坐標轉換過程中，刀具固定坐標系OT3XT3YT3ZT3到標準安裝時刀具固定坐標系OMXMYMZM的其次轉換矩陣MMT3：

應用Matlab2007對水平面內交角誤差為0°、1°和-1°時，加工得到的面齒輪齒廓和接觸軌跡，分析垂直面內位置偏差對加工得到的面齒輪傳動接觸點位置的影響，如圖7所示。

圖7 考慮垂直面內交角誤差對接觸點位置影響的比較

垂直面內交角誤差是指插齒刀軸線在垂直面內與標準安裝時刀具軸線有一定夾角aε，如圖2所示。

由在垂直面內具有交角誤差的刀具加工得到的面齒輪齒廓的方法與前述的方法相同，區別在于刀具固定坐標系OT3XT3YT3ZT3到標準安裝時刀具固定坐標系OMXMYMZM的其次轉換矩陣MMT4：

通過Matlab2007對垂直面內具有交角誤差的插齒刀具加工得到的面齒輪齒廓進行仿真，得到具有誤差的面齒輪齒廓和接觸軌跡，分析水平面內交角誤差對加工得到的面齒輪傳動接觸點位置的影響，如圖8所示。

圖8 考慮水平面內交角誤差對接觸點位置影響的比較

由圖7和圖8可知，垂直面和水平面內交角誤差會引起面齒輪齒形的扭曲變形，但扭曲變形的面齒輪在傳動過程中接觸點的位置變化不大，說明交角誤差對接觸點影響很小。

5 結論

面齒輪插齒加工過程中齒輪刀具安裝誤差對面齒輪齒廓曲面影響較小，但會造成面齒輪的齒廓曲面發生偏移和扭轉，影響面齒輪傳動的嚙合特性，但加工誤差對面齒輪傳動過程中的齒面接觸軌跡影響較小，接觸點位置在齒廓曲面上的相對位置沒有變化，不會影響面齒輪的強度和承載能力。