永磁同步電機驅動的機器人哈密頓與PD協調控制

徐 旭，于海生，于金鵬，劉旭東，吳賀榮

（青島大學 自動化與電氣工程學院，青島 266071）

0 引言

作為當今工業領域最常見的工業機器人之一的關節機器人，主要表現形式為工業機械臂，在自動化裝配領域應用廣泛。永磁同步電機（PMSM）廣泛的應用于機器人關節驅動系統中，得益于其具有良好的可控性能、結構簡單、調速范圍寬、準確度高、噪聲低等特點[1]。當前應用于機器人驅動系統的控制方法中，比例微分（PD）控制方法應用廣泛、設計簡單，但受參數影響較大，而且抗干擾能力較差，很難廣泛的應用于實際工程當中去；拉格朗日公式法可以推導出機器人動力學一般形式模型，有效解決了多關節機器人動態建模問題，適用于大部分機器人動力學求解問題[2,3]，但推導過程相對麻煩，而且很難和機器人驅動電機控制相結合；魯棒自適應控制能夠有效解決系統模型中不確定性問題，能夠實現對機器人關節位置及速度的有效跟蹤，既能夠保證不確定系統的穩定性而且能夠根據實際系統的需求修正控制規律及參數[4,5]，但是設計復雜；文獻[6]提出一種簡單的滑模控制方案，不依賴獨立穩定的不連續曲面，減少了設計的復雜性；文獻[7]介紹了一種基于干擾上界的滑模控制，但單純的滑模控制消除不了抖振問題；文獻[8]設計基于反饋線性化控制算法，具有良好的控制效果，但是忽略非線性部分的線性化模型將不再能反映系統特性；神經網絡自適應控制可以逼近機器人動態模型，有效解決復雜的機器人控制系統的非線性和不確定性，使機器人在理想動態下有效的跟蹤給定軌跡，具有良好的控制性能[9,10]；神經網絡控制通過不斷的學習，使系統具有更好的適應性以及更好的動態性能[11]；模糊控制可以很好的和其他控制方法結合使用，能夠實現對復雜系統的有效控制，但是信息簡單的模糊存在精度低、動態品質差的缺點[12,13]；反步法設計簡單，能夠實現PMSM控制系統的完全解耦，可用于機器人的高精度運動控制[14,15]。基于能量受控的哈密頓方法廣泛應用于永磁同步電機的控制[16,17]，為實現機器人動力學與驅動電機控制結合，本文采用哈密頓控制方法設計機器人關節位置控制器，使系統具有更好的穩態特性，但是單獨采用PCH控制系統動態響應較慢，所以設計協調控制策略，與PD加重力補償進行協調控制，此時系統既具有PD快速的動態響應，也會保持PCH控制的穩態特性；用反步法對驅動電機電流進行控制，然后通過電流轉換將兩個控制器結合，實現機器人與驅動電機的整體控制，而且系統具有較好的抗干擾能力。

1 機器人模型

1.1 機器人動力學與運動學模型

n關節機器人拉格朗日動力學方程可表示為[18]：

式中，q為n維關節轉動角位移向量；為n維關節轉動角速度向量；為n維關節轉動角加速度向量；D(q)∈Rn×n為對稱正定慣性方陣；為哥式力與離心力矩陣；Rf為摩擦阻力系數矩陣，G(q)∈Rn為重力矩向量；τ為輸入力矩向量。

兩關節機器人如圖1所示，L1、L2分別為關節機器人的兩個關節長度，q1、q2分別為兩個關節的角位移，m1、m2分別表示兩個關節的質量。

圖1 兩關節機器人空間坐標示意圖

式(1)中參數矩陣和向量可求得為：

機器人末端C點與基座A點的關系可表示為：

式中，c12=cos(q1+q2)；s12=sin(q1+q2)；s1=sinq1；c1=cosq1。

由機器人末端期望位置(xd,yd)，根據機器人逆運動學，可分別求得兩個關節的角位移：

1.2 PMSM數學模型

PMSM在d-q坐標系下數學模型[19]：

式中，i=1,2；Lid和Liq分別d軸和q軸的定子電感；iid和iiq分別為d軸和q軸的定子電流；uid和uiq分別為d軸和q軸的定子電壓；Ris為定子電阻；nip為極對數；wi為轉子機械角速度；Jim為轉動慣量；τiL為負載轉矩；Φi為永磁同步電機產生的磁鏈；θi為永磁同步電機角位移；qi為機器人關節角位移。

2 機器人控制方案

機器人系統控制方案如圖2所示，給定機器人期望的軌跡坐標，根據機器人逆運動學可求得兩個關節期望的角位移，通過機器人關節位置PCH和PD控制器，分別求得到機器人關節驅動力矩，設計協調控制策略得到協調后的力矩，然后經過電流變換，采用反步法對PMSM電流進行控制，從而實現機器人與PMSM控制的有機結合。

圖2 二自由度關節機器人驅動系統控制框圖

2.1 機器人位置協調控制設計

選取哈密頓函數為：

其中， q∈R2、p∈R2分別為角位移和動量向量，V(q)為勢能，且q、p的關系可表示為：

則機器人動力學的哈密頓模型可表示為[20]：

式中I2為二維單位矩陣，τ1=[τ11τ21]T為輸入力矩向量，取g=diag{1 1}。

取機器人動力學系統的期望哈密頓函數：

由式(12)可求得PCH控制器：

取Dd(q)=D(q)，J2(q,p)=0，可求得：

設計機器人末端位置PD加重力補償控制器。選取PD加重力補償控制律：

可求得PD加重力補償控制器為：

構造協調函數：

式中C1(t)，C2(t)分別為PCH和PD加重力補償控制器的協調參數；a，b為常數。

設計協調控制策略：

根據實際需求設定機器人關節角位移最大誤差值，當，(i=1,2)時，系統投入協調。

式中Kd，Rf均為正定矩陣，，所以協調控制系統是漸近穩定的。

2.2 電流控制器設計

利用隱極(Lid=Liq)PMSM的=0控制原理可知[22]，由式(5)可求得：

利用反步法原理設計電流控制器[23,24]。

進而可求得：

進而可求得：

則電流控制器可表示為：

2.3 穩定性分析

取整個系統Lyapunov函數V=V2+V1q+V2q，由以上分析可得機器人關節位置PCH控制系統和PMSM電流控制系統均為漸近穩定，因此整個系統是漸近穩定的。

3 仿真結果

機器人參數：L1=L2=1m，m1=m2=1kg，Rf=diag{(2.1 0.3)}，Kv=diag{(10.75 6)}，ρ=1，Kp=diag{20 100)}，Kd=diag{3 10)}。PMSM參數：Lid=Liq=0.0085H，Ris=2.875Ω，nip=4，Φi=0.175Wb，Jim=0.02kg.m2，k1d=k2d=k1q=k2q=10000，a=0.2，b=0.5。機器人末端位置由點（1.5，0.5）運動到點（0.5，1.5），t=4s時系統負載轉矩發生變化。由圖3、圖4可以看出協調控制與PD加重力補償控制動態特性曲線幾乎重合；穩態特性曲線與PCH控制幾乎重合。協調控制能夠很好的結合兩種控制方法的優點，既具有很快的動態響應速度，而且具有一定的抗負載轉矩擾動能力。

圖3 機器人關節末端x軸坐標

圖4 機器人關節末端y軸坐標

4 結束語

本文針對二自由度機器人關節驅動系統進行研究，為提高機器人末端位置控制效果，運用依靠互聯配置、阻尼注入和能量成型的PCH和PD加重力補償控制方法分別求取機器人關節位置控制器，并設計協調控制方案；用反步法將復雜的機器人驅動電機控制系統分解為中間子系統，然后把子系統集成起來完成對機器人驅動電機進行控制，并通過電流變換將機器人關節位置控制與驅動電機電流控制相結合。由仿真結果可以看出協調控制機器人末端位置可以快速并且準確的到達期望位置，而且與PD加重力補償和PCH控制方法單獨控制做出對比，證明此方案既具有較快的動態過程，而且有更好的控制性能和抗負載轉矩擾動的能力，所提出的控制方法具有很好的應用前景。

圖5 協調控制關節末端軌跡

圖6 協調函數曲線圖