高中數(shù)學(xué)中的審題學(xué)習(xí)

摘 要：讀題審題是現(xiàn)代高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，一個(gè)很重要的問題。而“恒成立”是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)熱點(diǎn)，難點(diǎn)問題，值得探討。本文以高中數(shù)學(xué)中“恒成立”問題不同的出現(xiàn)形式：恒正恒負(fù)問題、定義域問題、根與交點(diǎn)問題，示范如何從題目中找思路。同時(shí)輔以對(duì)應(yīng)實(shí)例，具體探討如何去思索。

關(guān)鍵詞：審題；恒成立；函數(shù)

高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，一直是很多人頭疼的問題。究其原因，讀不懂題，對(duì)于數(shù)學(xué)題干中的信息，不會(huì)審題，或者叫沒有審題能力，是一個(gè)非常重要的因素。因此，筆者準(zhǔn)備重點(diǎn)從數(shù)學(xué)的審題出發(fā)，說一說自己的想法。下面以函數(shù)的恒成立問題為例，簡(jiǎn)單談一談。

一、 “恒成立”問題中的，恒正恒負(fù)問題

我們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，常常會(huì)遇見“f（x）恒大于0”，“f（x）恒為負(fù)”之類的字眼，那么究竟如何理解這樣的字眼，預(yù)解決問題，當(dāng)先讀好題。作為函數(shù)f（x），所謂的恒大于0，就是指在它的定義域內(nèi)能取到的函數(shù)值，都應(yīng)當(dāng)比0大，也可以解讀為恒為正。那么我們只要能夠找到定義域上的最小值，使得最小值大于0，而其他的函數(shù)值比最小值要更大些，自然也都大于0了。下面我們看一個(gè)具體的實(shí)例。

例1 x∈[1，2]，12x2-lnx-a≥0，求a的取值范圍。

這個(gè)問題，是典型的“恒大于0”的問題，要求在定義域[1，2]上，對(duì)于函數(shù)f（x）=12x2-lnx-a的函數(shù)值，都是正數(shù)。函數(shù)f（x）只要最小值能夠大于或等于0，那么本題就劃歸為了fmin≥0的問題。

下面，就是來求f（x）的最小值。對(duì)于這樣的函數(shù)，我們可以通過求導(dǎo)判斷單調(diào)性，極值點(diǎn)，最值點(diǎn)來找到這個(gè)最小值。在區(qū)間[1，2]上，導(dǎo)數(shù)大于零，f（x）為增函數(shù)。所以，最小值fmin=f（1）=12-a≥0，易得a≤12。

例1（變形）x∈[1，2]，12x2-lnx-a≤0，求a的取值范圍。

這個(gè)問題，先不急著下手，讀好題，這個(gè)題就是上面的問題。作為一個(gè)函數(shù)，我們只需要該函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值fmax小于或等于0就可以了。fmax= f（2）=2-ln2-a≤0就可以了，易得a≥2-ln2。

這類問題，我們只要能夠在審題上做好文章，找準(zhǔn)目標(biāo)，很容易得出結(jié)果。

例2 f（x）=x2+2ax+3，g（x）=-2x2+4，x∈R，都有f（x）≥g（x），求a的取值范圍？

這個(gè)問題，乍一看是兩個(gè)函數(shù)在比較大小，但我們仔細(xì)讀題，會(huì)發(fā)現(xiàn)f（x）≥g（x），就是f（x）-g（x）≥0在R上恒成立，這樣，我們帶入計(jì)算記F（x）=f（x）-g（x）=3x2+2ax-1≥0恒成立，就變成了我們前面例子所討論的問題了。

我們只需要F（x）的最小值Fmin≥0就可以了，易得Fmin（x）=F（-a3）=a23-2a3-1≥0，

解得a∈（-∞，-1）∪（3，+∞）。

分析：這個(gè)問題，審題是很重要的，如果上手就是對(duì)兩邊求值，恐怕路就走遠(yuǎn)了。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，讀懂題、審好題，才是打開問題之門的鑰匙。

二、 進(jìn)一步讀題轉(zhuǎn)換

需要理解支撐的讀題問題，還有很多，下面我們?cè)僬f一例子：

例3 已知函數(shù)f（x）=kx3-3（k+1）x2-k2+1（k>0），若f（x）在區(qū)間（0，4）上單調(diào)遞減，求k的取值。

這個(gè)問題，在解決問題時(shí)，我們應(yīng)當(dāng)盡快地把問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)x∈（0，4）時(shí)，f′（x）=3kx2-6（k+1）x≤0恒成立。這樣，我們就可以模仿前面的思路，去解決這類問題。可以記g（x）=3kx2-6（k+1）x≤0，只需要最大值gmax≤0即可。那么我們通過求導(dǎo)找到gmax=g（k+1k），其中對(duì)稱軸x=k+1k∈（1，2）（0，4）。以此模仿前面所提的方法，可以很順利地解決問題，筆者這里不再贅述。

這個(gè)問題，必須能很好地理解什么叫做單調(diào)遞減，才能把題讀懂，認(rèn)清。遇到題目，不要急于下筆，冷靜分析！

三、 “恒成立”對(duì)于函數(shù)的根，函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)問題的解決

例4 求函數(shù)f（x）=x3-x2-x+3m與x軸有幾個(gè)交點(diǎn)？

讀完題，我們要問自己這樣一個(gè)問題，什么叫有幾個(gè)交點(diǎn)？這個(gè)問題我們可以通過求導(dǎo)，求出函數(shù)的極值點(diǎn)，并畫出大致草圖。但由于m值的不確定，圖像時(shí)可以上下平移的。準(zhǔn)確地說，是極值點(diǎn)的位置，影響了我們函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，很容易分析出，m滿足不同值的時(shí)候，圖像和x軸有幾個(gè)交點(diǎn)的情況是不同的。當(dāng)極大值的位置在0的下方或極小值的位置在0的上方，則函數(shù)與坐標(biāo)軸只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)極大值和極小值出現(xiàn)一正一負(fù)的情況，函數(shù)與坐標(biāo)軸應(yīng)該有三個(gè)交點(diǎn)，；而當(dāng)極大值或極小值恰有一個(gè)為0時(shí)，那么函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)恰為2個(gè)。

（變式1）求函數(shù)f（x）=x3-x2-x+3m與y=1有幾個(gè)交點(diǎn)。

這個(gè)問題，和前面的原題比較，只是在與哪一條水平線相交的問題上有所改變。與x軸交點(diǎn)就是y=0的交點(diǎn)，現(xiàn)在實(shí)際變成了與y=1的交點(diǎn)問題，也就是極值點(diǎn)不再和0比較大小，而是和1比較大小，重新確定m的取值，來確定圖像的走勢(shì)。

（變式2）求函數(shù)f（x）=x3-x2-x+3m與y=a恰有2個(gè)交點(diǎn)，求a的取值

這個(gè)問題實(shí)際是剛才活動(dòng)的細(xì)化，拓展。考察這類問題的方法，拿極值點(diǎn)與a比較大小并能順利地拿下問函數(shù)圖像交點(diǎn)問題。

（變式3）求函數(shù)x3-x2-x+3m=0的根恰有一個(gè)，求m的取值。

這個(gè)問題，應(yīng)該說比剛才的活動(dòng)上升了一個(gè)層次，已經(jīng)從導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的問題，擴(kuò)展到導(dǎo)數(shù)與方程的問題，應(yīng)該說在這個(gè)問題上，學(xué)生開始有所糊涂，或者不敢輕易下筆，對(duì)思維上要求比較高。那我們就必須從函數(shù)與方程的關(guān)系來考慮問題，所謂的方程的根的個(gè)數(shù)，就是其對(duì)應(yīng)函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

審題讀題問題，應(yīng)該說已經(jīng)上升到一個(gè)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)能力的問題，絕不是一蹴而就。而是需要我們不斷地努力訓(xùn)練，有意識(shí)的做這件事才能成功！而恒成立問題，也是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)熱點(diǎn)問題，一系列的變換下來，感受此類問題如何讀題，如何把控函數(shù)。

作者簡(jiǎn)介：

史贏，江蘇省南京市，南京市秦淮區(qū)文樞高級(jí)中學(xué)。