利用洛必達法則來處理高中數學中的恒成立問題

木沙江·吐爾遜??

摘 要：文章通過洛必達法則分析函數的最大，最小值指出一種解決高中數學常見的恒成立問題

關鍵詞：洛必達法則；恒成立；微分

近幾年，隨著新課標在全國的范圍內的實施，無論高考題，還是各個區高考模擬，還是什么月考測試都在悄悄發生變化。尤其是有關高等數學背景的問題會逐漸增加豐富起來。雖然高考考試沒有要求學生掌握，但是可以利用已有的知識和方法來解決有關背景的問題。函數圖像的凸凹性，導數中的拐點，洛必達法則……特別是利用洛必達法則來處理解答題中的函數與導數題，即高中數學中的恒成立問題的觀點尤其突出。恒成立問題是高中數學中的常見問題，在培養同學們的靈活性，創造性等方面起到了積極的作用，也是歷年高考題中的一個熱點，大多是在不等式中以已知自變量x的取值范圍，求另一個參數的取值范圍的形式出現。

例如2010年和2011年，2016年（文科）高考中的全國新課標卷中的第21題中的第2步，由不等式恒成立來求參數的取值范圍問題，用初等方法處理，分析難度大，變化技巧高。但用洛必達法則來處理卻可達到事半功倍的效果。

一、 洛必達法則

法則1 若函數f（x）和g（x）滿足下列條件：（1）limx→afx=0 及limx→agx=0；

（2）在點a的去心鄰域內，f（x）與g（x）可導且g′（x）≠0；

（3）limx→af′xg′x=l，那么 limx→afxgx=limx→af′xg′x=l。

法則2 若函數f（x）和g（x）滿足下列條件：（1）limx→afx=∞及limx→agx=∞；

（2）在點a的去心鄰域內，f（x）與g（x）可導且g′（x）≠0

（3）limx→af′xg′x=l，那么 limx→afxgx=limx→af′xg′x=l。

二、 高考題處理

1. （2016年全國新課標Ⅱ文科）已知函數f（x）=（x+1）lnx-a（x-1），（a∈R）

（1）當a=4時求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；

（2）若當x∈（1，+∞）時f（x）>0，求a的取值范圍；

原解：（1）當a=4時f（x）=（x+1）lnx-4x+4，（a∈R），

f′（x）=lnx+1+1x-4，f′（1）=-2，f（1）=0，

∴切線方程為y-0=-2（x-1）即2x+y-2=0

（2）：f（x）>0等價于：（x+1）lnx>a（x-1）；∵x∈（1，+∞）x-1>0

等價于（x+1）lnxx-1>a對x∈（1，+∞）恒成立，等價于即令g（x）=（x+1）lnxx-1的最小值也應該大于a，根據g（x）的單調性可以解出它的最小值，

則g′（x）=（x-1）lnx+1+1x-（x+1）lnx（x-1）2=-2lnx+x-1x（x-1）2，

這時我們需要-2lnx+x-1x和0的大小關系，令M（x）=-2lnx+x-1x

則M′（x）=-2x+1x2+1=（x-1）2x2>0即M（x）函數在1，+∞上單調遞增，

∴M（x）>M（1）=0，∴g′（x）>0即區間1，+∞上g（x）也是單調遞增，

可以說區間1，+∞上g（x）>g（1）≥a

根據洛必達法則limx→1g（x）=limx→1（x+1）lnxx-1=limx→1（x+1）lnx′（x-1）′

=limx→1lnx+1+1x1=2，故a≤2，綜上，知a的取值范圍為-∞，2。

2. （2010年全國新課標理）設函數f（x）=ex-1-x-ax2。

（1）若a=0，求f（x）的單調區間；（2）若當x≥0時f（x）≥0，求a的取值范圍

原解：（1）a=0時，f（x）=ex-1-x，f′（x）=ex-1。

當x∈（-∞，0）時，f′（x）<0；當x∈（0，+∞）時，f′（x）>0。故f（x）在（-∞，0）單調減少，在（0，+∞）單調增加

（2）當x=0時，f（x）=0，對任意實數a，均在f（x）≥0；

當x>0時，f（x）≥0等價于a≤ex-x-1x2

令gx=ex-x-1x2，（x>0）則g′（x）=xex-2ex+x+2x3，令hx=xex-2ex+x+2x>0，則h′x=xex-ex+1，h″x=xex>0，

知h′x在0，+∞上為增函數，h′x>h′0=0；知hx在0，+∞上為增函數，hx>h0=0；∴g′x>0，gx在0，+∞上為增函數。

由洛必達法則知，limx→0+ex-x-1x2=limx→0+ex-12x=limx→0+ex2=12，

故a≤12，綜上，知a的取值范圍為-∞，12。

3.（2011年全國新課標理）已知函數f（x）=alnxx+1+bx，曲線f′（x）=ax+1x-lnx（x+1）2-bx2在點f′（x）=ax+1x-lnx（x+1）2-bx2處的切線方程為f′（x）=ax+1x-lnx（x+1）2-bx2。

（Ⅰ）求f′（x）=ax+1x-lnx（x+1）2-bx2、f′（x）=a（x+1x-lnx）（x+1）2-bx2的值；

（Ⅱ）如果當f′（x）=ax+1x-lnx（x+1）2-bx2，且f′（x）=ax+1x-lnx）（x+1）2-bx2時，f′（x）=ax+1x-lnx（x+1）2-bx2，求f′（x）=ax+1x-lnx（x+1）2-bx2的取值范圍。

解：（Ⅰ）f′（x）=ax+1x-lnx（x+1）2-bx2

由于直線b=1，a2-b=1的斜率為b=1，a2-b=1，且過點b=1，a2-b=1，故b=1，a2-b=1即

b=1，a2-b=1解得x>0，x≠1，x>0，x≠1。

（Ⅱ）由題設可得，當x>0，x≠1時，k<2xlnx1-x2+1恒成立。

令g（x）=2xlnx1-x2+1（x>0，x≠1），則g′x=2·x2+1lnx-x2+11-x22，

再令hx=x2+1lnx-x2+1（x>0，x≠1），則h′x=2xlnx+1x-x，h″x=2lnx+1-1x2，易知hx=2x+2xx4=2x+2x3>0故h″x在0，+∞上為增函數，且h″1=0；故當h″x<0時，h″x<0，當x∈1，+∞時，h″x>0；

∴h′x在0，1上為減函數，在1，+∞上為增函數；故h′x>h′1=0

∴hx在0，+∞上為增函數，∵h1=0

∴當hx<0時，hx<0，當x∈1，+∞時，hx>0

∴當g′x<0時，g′x<0，當x∈1，+∞時，g′x>0

∴gx在0，1上為減函數，在1，+∞上為增函數

∵由洛必達法則知limx→1gx=2limx→1xlnx1-x2+1=2limx→11+lnx-2x+1=2×-12+1=0

故k≤0，即k的取值范圍為-∞，0

規律總結：對恒成立問題中的求參數取值范圍，參數與變量分離較易理解，雖然有些題中的求分離出來的函數式的最值可以一次求導數就會求出拐點，既可以求出由函數的單調性來求最值的，但是有些題中的求分離出來的函數式的最值不能一次求導數就可以判斷函數的單調性或者導數等于0的拐點，這時通過繼續求導（至可以判斷單調性和最值），然后通過最后最簡單導函數的最值來判斷它原函數的單調性，就這么返回，最后判斷跟所求的參數分離出來的函數的單調性，利用單調性求使不等式滿足的最值，如果最值點函數無意義的話就利用洛必達法則可以較好地處理它的最值，是一種值得借鑒的方法。

參考文獻：

[1]吳良森，程其蘘，龐學誠.數學分析教程[M].高等教育出版社，2004.

作者簡介：

木沙江·吐爾遜，中學二級教師，新疆維吾爾自治區克孜勒蘇柯爾克孜自治州，阿圖什市第一中學。