球冠狀凹陷對圓柱殼軸向臨界載荷的影響

潘力，李美求，池道

(長江大學機械工程學院，湖北 荊州 434023)

無縫鋼管焊接而成的導管架[1,2]主要是用來支撐海洋平臺上部結構，以承受軸向載荷為主。導管架式海洋平臺結構[3]在服役期間，其結構會因各種損傷使得承載能力發生變化[4,5]。結構凹陷[6]是常見的損傷之一，通常是結構在制造 、拖運和安裝過程中由于碰撞產生，也可能是結構在服役期間因重物掉落或船舶停靠碰撞[7]造成。結構凹陷嚴重影響結構的安全性和完整性[3]，凹陷損傷結構極限承載能力[8]對服役結構體系的安全檢測、評定[9,10]意義重大。

然而，目前對于球冠狀凹陷半徑、深度及位置對圓柱殼軸向臨界載荷影響的研究還比較少。為此，筆者通過線性屈曲分析模塊數值模擬球冠狀凹陷位置、凹陷半徑、凹陷深度對圓柱殼軸向臨界載荷的影響，并且擬合球冠狀凹陷對圓柱殼軸向臨界載荷的計算公式。

1 球冠狀凹陷模型

圖1 球冠狀凹陷模型

球冠狀凹陷模型如圖1所示，其中，凹陷位置用凹陷中心離固定端面的距離用ξ表示，凹陷半徑用R表示，凹陷深度用H表示，圓柱殼長度用L表示。忽略凹陷區域壁厚的變化。

歐拉公式廣泛用于未受損圓柱殼受軸向外壓的穩定性求解，其一般形式為：

(1)

空心圓柱極慣性矩I計算公式為：

(2)

式中，σcr代表軸向應力，MPa；Fcr代表軸向臨界壓力，N；A代表徑向截面積，m2；E代表彈性模量，GPa；I代表極慣性距，m4；μ代表長度系數；D代表外徑，mm；α代表內外徑比值。

圓柱殼長度可能對仿真結果精確性有影響，確定合適的長度值來降低仿真誤差。構造以2600mm作為第1項，公差為200mm的圓柱殼長度等差數列。圓柱殼失穩仍處于線彈性階段，用線性屈曲分析模塊對圓柱殼進行屈曲仿真。建立模型并導入Ansys Workbench中，對導入的模型劃分網格，在模型一端施加固定約束，另一端僅保留軸向自由度，在Loads中對軸向自由度端面施加pressure為1MPa，圓柱殼長度增加使得承載能力降低，為了使圓柱殼保留一定的承載能力，僅求解前7項，仿真與歐拉公式得到的軸向臨界載荷結果如表1所示。

由表1可知，仿真與歐拉公式結果相差不大，仿真比較準確。當圓柱殼長度為3200mm時，兩者相差最小，因此將圓柱殼長度L設定為3200mm。

2 結構參數對軸向臨界載荷的影響

對于球冠狀凹陷，其R應不小于H，且球冠狀凹陷的深度太深會導致仿真模型與實際不符，將最大凹陷深度取為圓柱殼外徑的一半，凹陷深度太淺會導致軸向臨界載荷變化太小，最小深度取10mm。當凹陷深度一定，凹陷半徑增加，凹坑的形狀變化率逐漸減小，凹陷半徑R的值達到150mm時，R繼續增加，球冠狀凹陷的形狀變化不大，取凹陷半徑R的最大值為150mm。凹陷太靠近圓柱殼兩端，會使得凹陷缺失，失去了與其他凹陷的對比作用，因此球冠狀凹陷中心離固定端面的距離不能離兩端部太近。

2.1 凹陷位置對軸向臨界載荷的影響

取凹陷半徑R為30、90、150mm，凹陷深度H為10、20、30mm，距離ξ取200、600、1000……、3000mm，屈曲仿真得到的軸向臨界載荷結果如圖2所示。

圖2 ξ對臨界載荷的曲線

據圖2可知，H、R不變，ξ變化使得臨界載荷變化近似呈現正弦規律，9條臨界載荷曲線兩兩相交，有且僅有2個交點，交點大致在波峰處。波峰區域是圓柱殼對凹陷最不敏感的區域，波谷區域臨界載荷處于臨界載荷曲線最低點，以此推斷波谷區域是圓柱殼對凹陷最敏感的區域。H、R取不同值，ξ變化對臨界載荷的影響程度不同，H、R越大，在同一位置對軸向臨界載荷的影響程度越大。承受軸向載荷的圓柱殼對缺陷的敏感程度與凹陷位置、凹陷半徑、凹陷深度有關，最敏感區域和最不敏感區域不隨凹陷位置、凹陷半徑、凹陷深度的變化而變化。

2.2 凹陷半徑對軸向臨界載荷的影響

為了更好地反映凹陷半徑變化對臨界載荷的影響規律，將凹陷建立在圓柱殼對凹陷最敏感的區域之一，取ξ為2000mm，凹陷深度H為10、20、30mm時，凹陷半徑R在30、90、150mm變化，屈曲仿真得到的軸向臨界載荷結果如圖3所示。據圖3可知，3條曲線在R變化下呈現同一規律：隨著R變化，軸向臨界載荷先迅速減小，隨后逐漸穩定,曲線進入穩定的快慢不同，H越小，越容易達到穩定。H不同，R變化對臨界載荷的影響程度不同，H越大，R對臨界載荷的影響也越大。

2.3 凹陷深度對軸向臨界載荷的影響

圓柱殼對凹陷的最敏感區域與最不敏感區域僅與凹陷位置有關，為了更好的反應凹陷深度變化對臨界載荷的影響，將凹陷建立在圓柱殼對凹陷最敏感的區域之一，取ξ為2000mm，凹陷半徑R為30、90、150mm時，凹陷深度H在10、20、30mm變化，屈曲仿真得到的軸向臨界載荷結果如圖4所示。據圖4可知，3條曲線在H變化下呈現同一規律：隨著H逐漸變大，軸向臨界載荷值逐漸變小，變化率越來越快。R不同，H變化對臨界載荷的影響程度不同，R越大，H對臨界載荷的影響也越大。

圖3 R對臨界載荷的影響曲線 圖4 H對臨界載荷的影響曲線

3 受損圓柱殼軸向臨界載荷表達式的擬合與驗證

無凹陷圓柱殼軸向臨界載荷計算較多的運用線性小擾度屈曲理論，運用該理論對于凹陷損傷的圓柱進行穩定性求解，必然會導致較大的誤差。在上述仿真數據的基礎上，對數據進行擬合，得出適用于球冠狀凹陷對圓柱殼受的軸向臨界載荷計算公式。

3.1 受損圓柱殼臨界載荷表達式的擬合

ξ的變化使得軸向臨界載荷曲線接近正弦曲線，用Matlab擬合工具箱選擇Fourier對臨界載荷表達式進行擬合，表達式的基本形式如式(3)所示：

f(x)=a0+a1cos(xw)+b1sin(xw)

(3)

式中，x是變量，代表距離ξ；f(x)是x的函數，代表臨界載荷。

將R、H對應的ξ值及軸向臨界載荷代入式(3)，擬合得到的結果如表2所示。

表2 a0、a1、b1、w的計算結果

據表2可知，當凹陷半徑相同時，隨著凹陷深度增加，a0、a1、的值逐漸變小，b1的值逐漸變大，w在0.0027附近波動。當凹陷深度相同時，隨著凹陷半徑增加，a0的值不變，a1的值逐漸變小，b1的值逐漸變大，w在0.0027附近波動。

因w在0.0027附近波動，將w取為0.0027，H為10 mm時a0、a1、b1與R的關系如下：

fa0(R)=159

(4)

fa1(R)=-0.2R0.4

(5)

fb1(R)=0.045R0.4

(6)

R不變，H變化，計算a0、a1、b1值與10 mm所對應的a0、a1、b1值的比例關系，分別用ka 0、ka 1、kb 1表示，結果如圖5～圖7所示。

圖7 kb1系數圖譜

將式(4)～(6)及ka 0、ka1、kb 1代入式(3)中，得到凹陷圓柱殼的軸向臨界載荷表達式如式(7)所示：

(7)

3.2 受損圓柱殼臨界載荷表達式驗證

參照ξ、R、H的變化范圍選擇ξ、R、H的值，分析結果與擬合結果如表3所示。

表3所示絕對誤差普遍在1.0%～2.0%，最大絕對誤差為4.45%，平均絕對誤差為1.5%，滿足工程分析的需要。

表3 擬合、仿真結果

4 結論

基于線性屈曲分析模塊探究了凹陷位置、凹陷半徑、凹陷深度對圓柱殼軸向臨界載荷的影響，得到以下結論：

1)承受軸向載荷圓柱殼對缺陷的敏感程度與凹陷位置、凹陷半徑、凹陷深度有關，最敏感區域和最不敏感區域不隨凹陷位置、凹陷半徑、凹陷深度的變化而變化。凹陷位置變化使得軸向臨界載荷值近似呈現正弦規律；凹陷半徑的增加引起軸向臨界載荷的減小，且變化率逐漸降低；凹陷深度的增加引起軸向臨界載荷的減小，且變化率逐漸增加。

2)用Fourier級數擬合球冠狀凹陷對圓柱殼的軸向臨界載荷計算公式，擬合值與仿真結果平均絕對誤差為1.5%，滿足工程分析的需要。