歐拉積分余元公式的證明及應用

熊駿

(長江大學信息與數學學院，湖北 荊州 434023)

1 歐拉積分的余元公式

歐拉積分是《數學分析》[1～3]中含參量反常積分中的一種，包括伽馬函數與貝塔函數，其表達式分別為:

通過變量代換可得到貝塔函數的另外2種表達式:

歐拉積分都在定義域內內閉一致收斂，具有很好的性質，如在定義域內連續、可導等。由變量代換及分部積分法可以得到它們的性質及遞推公式：

Γ(s+1)=sΓ(s) (s>0)

Γ(1)=1Γ(n+1)=n!

Β(p,q)=Β(q,p) (p>0,q>0)

伽馬函數與貝塔函數的關系式如下：

歐拉積分的余元公式[4]為：

下面，筆者結合冪級數與傅里葉級數及復變函數中的留數給出余元公式的2種證明。

2 余元公式的證明

2.1 第1種證明

由：

當0

從而：

即：

(1)

下面考慮將cosπx在[-α,α]上進行傅里葉級數展開，首先將其周期延拓為周期為2α的周期函數。又cosπx在[-α,α]為偶函數，其傅里葉級數為余弦級數，且傅里葉系數為：

由傅里葉級數的收斂定理有：

特別地，取x=0得到：

化簡得：

(2)

比較式(1)和式(2)可得余元公式：

2.2 第2種證明

由：

(3)

而：

且：

由式(3)，令R→+∞，ε→0得：

即：

3 余元公式的應用

于是：

由余元公式有：

注:n=4,m=1時即為例1。

解這是含有瑕點a,b的反常積分，由于：

由柯西判別法知,該反常積分收斂。

令x=a+t(b-a),則dx=(b-a)dt,當x=a時t=0,當x=b時t=1。于是：

4 結語

余元公式是歐拉積分的一個重要公式,其證明還有許多方法，其應用也非常廣泛。由于伽馬函數可以延拓,因此還可以研究更一般情況下的余元公式。