極坐標與參數方程的解題策略

袁娟 于真靈

近幾年高考數學全國卷中的極坐標與參數方程，通常與直線方程、網的方程、網錐曲線等知識相結合，考查極坐標與參數方程的應用、數形結合的思想方法以及考生的運算求解能力.

題型1：把極坐標方程化成直角坐標方程，把參數方程化成普通方程

例1 在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為

（t為參數），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=4cosθ.

（Ⅰ）把直線l的參數方程化為極坐標方程，把曲線C的極坐標方程化為普通方程.

（Ⅱ）求直線l與曲線C交點的極坐標.（ρ≥0，0≤θ<2π）

解題規律 若只是涉及簡單的坐標互化，將方程互化；若涉及兩圓外切、內切問題，往往先把曲線的極坐標方程化成直角坐標方程，參數方程化成普通方程，轉化為常規問題處理.

題型2：利用極坐標中ρ的幾何意義設題

例2 在平面直角坐標系xOy中，網C₁的參數方程為

（t為參數），圓C₂與圓C₁外切于原點O，且兩圓圓心的距離|C₁C₂|=3，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.

（Ⅰ）求圓C₁和網C₂的極坐標方程.

（Ⅱ）過點O的直線l₁，l₂與圓C₂異于點O的交點分別為點A和點D，與圓C₁異于點O的交點分別為點C和點B，且l₁⊥l₂，求四邊形ABCD面積的最大值.

解 （Ⅰ）由圓C₁的參數方程{x=-1+cost，

y=sint （t為參數），可得（x+1）₂+y₂=1，所以點C₁的坐標為（-1，0），r₁=1.由圓C₂與圓C₁外切于原點O，且兩圓圓心的距離|C₁C₂|=3，可得點C₂的坐標為（2，0），r₂=2，則圓C₂的方程為（x-2）₂+y₂=4.

由{x=ρcosθ，

y=ρcosθ，可得網C₁的極坐標方程為ρ：-2cosθ，網C₂的極坐標方程為ρ=4cosθ.

（Ⅱ）由已知可設點A的坐標為（ρ₁，θ），則由l₁⊥l₂，可得點B的坐標為（ρ₂，θ+π/2），點C的坐標為

解題規律 當涉及距離問題時，如果題中給出的是極坐標方程，用常規方法不好處理時，常常想到利用極坐標中ρ的幾何意義：極坐標系的點P（ρ，θ）中的ρ表示點P與點O之間的距離|OP|，即|OP|=ρ.

題型3：利用直線的參數方程中的幾何意義設題

例3 已知曲線C₁的參數方程為（t為參數，0≤α<π），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為

（I）若極坐標為

的點A在曲線C₁上，求曲線C₁與曲線C₂的交點坐標.

（Ⅱ）若點P的坐標為（-1，3），且曲線C₁與曲線C₂交于B，D兩點，求|PB|·|PD|.

解 （Ⅰ）點

對應的直角坐標為（1，1）.由曲線C₁的參數方程，可知曲線C₁是過定點（-1，3）的直線，故曲線C₁的直角坐標方程為x+y-2=0，而曲線C₂的直角坐標方程為x₂+y₂-2x-2y=0.聯立方程得

故曲線C₁與曲線C₂的交點坐標分別為（2，0）和（0，2）.

（Ⅱ）由判斷可知點P在C₁上，將代入方程x₂+y₂-2x-2y=0，可得t₂-4t（cosα-sinα）+6=0.設點B，D對應的參數分別為t₁，t₂，則|PB|=|t₁|，|PD|=|t₂|.又t₁t₂=6，所以|PB|·|PD|=|t₁|·|t₂|=|t₁t₂|=6.

解題規律 當涉及距離問題時，如果題中給出的是直線或直線的參數方程，用常規方法不好處理時，常常想到利用直線的參數方程（t為參數）中t的幾何意義，即|t|=|P₀P|.使用該直線的參數方程時，直線上任意兩點P₁，P₂對應的參數分別為t₁，t₂，則：①|P₁P₂|=|t₁-t₂|；②線段P₁P₂的中點對應的參數為1/2（t₁+t₂）.