多視角破解拋物線題

唐果城

例題 已知拋物線C：y₂=8x的焦點為F，準線l與x軸的交點為K，點A在拋物線C上，且在x軸的上方，過點A作AB⊥l，交l于點B，|AK|=·|AF|，則△AFK的面積為____.

分析 快速、準確地作出拋物線的圖像是順利解答本題的第一步，如右圖所示.拋物線的定義及焦半徑公式是考生的必備知識.通過圖像分析題目要求的△AFK的面積，由圖可知|KF|即為焦準距p，即|KF|=p=4，關鍵在于求底邊KF上的高，即求出點A的縱坐標.請大家思考，怎樣來求點A的縱坐標呢？我們一起來欣賞下面的解決方案.

方案一

反思 此解法較常規，我們很容易想到直接設出點A的坐標為（x₀，y₀）（y₂>0），要注意y₀的取值范圍，同時聯系拋物線的定義及焦半徑公式，得出|AF|=|AB|=x₀+2，利用△ABK為等腰直角三角形列出方程，進而求得x₀=2，y₀=4，從而使問題迎刃而解.

方案二 由題意可知拋物線的焦點為F（2，0），準線l：x=-2，則點K的坐標為（-2，0）.設點A的坐標為（m， ）（m>0），則AF=AB=BK=m+2.由|AK|=2），化簡可得m=2.故點A的坐標為（2，4），則△AFK的高為4.所以，△AFK的面積為1/2×4x4=8.

反思 方案二從題設開始減少未知數的個數，使未知數變為一個，這種充分利用已知條件減少參數個數的思想在解決問題中是非常重要的.

方案三 過點A作AB⊥l，交l于點B，則|AF|=|AB|，|AK|= |AB|，所以直線AK的斜率為1.又可知點K的坐標為（-2，0），所以直線AK的方程為y=x+2.于是由

解得x=2，y=4，則點A的坐標為（2，4）.所以，△AFK的面積為1/2|KF·||y₀|=1/2×4×4=8.

反思 此方案充分挖掘題干信息，快速、準確地得出直線AK的斜率為1，又直線AK過定點K（-2，0），可得直線AK的方程，然后聯立方程組解得點A的坐標，從而問題得到圓滿解決.從方程的角度入手，聯立直線方程與曲線方程求交點坐標，是解決直線與圓錐曲線問題的常用方法.

方案四

反思 由AB∥x軸，|AK|=

|AF|，|AF|=|AB|，可知△AFK為等腰直角三角形，從而得到∠AKF=45°是本方案的關鍵點.然后聯系余弦定理求出|AF|=4，進而可知四邊形ABKF為正方形，故等腰直角三角形AFK的底邊KF上的高為4，從而問題得解.

啟示 在平常的學習中，同學們要勤于思考和探索，逐步適應，發散思維，既要按照常規要求進行思考，又不拘泥于常規，這也是新高考及新時代人才的需求方向.