基于干涉相位的兩步法高精度無模糊時延估計

趙培焱, 彭華峰, 鄧 兵, 賀 青

(盲信號處理重點實驗室,四川 成都 610041)

0 引 言

時延估計是現代信號處理的重要內容,廣泛應用于無源定位、雷達聲納、導航遙測等軍事領域,以及生物醫學、工業探傷等民用領域[1]。經過多年發展,形成了以廣義互相關[1](generalized cross-correlation, GCC)和互譜法[2]為代表的時延估計方法,并在實際工程中取得了廣泛的應用。近年來,隨著工程應用的深入和領域的拓展,對時延估計精度的要求也在不斷地提高,如在航天測控等領域出現了一種以相時延為基本觀測量的新型的高精度時延估計方法[3-4],并已經成功應用于實際任務[5-6]。但是,相時延估計面臨整周模糊度解算的問題[3-6],往往需要對測控信號的頻點[3,5-6]或測量基線[4]進行一系列特殊設計,且現有文獻和實際任務中的方法[3-6]均無法一次性獲得高精度且無模糊的時延估計。針對該問題,本文充分挖掘信號本身所攜帶的信息,提出一種兩步法解決思路,第一步用大頻率孔徑獲得低精度無模糊預估值,第二步利用該預估值引導解模糊,得到較為滿意的估計結果,并通過仿真實驗對所提方法的性能進行了評估。

1 信號模型

在無源定位、航天測控等領域,時延測量系統原理可以用圖1表示。

圖1 時延估計原理圖Fig.1 Schematic of time delay estimation

兩測站接收的信號模型可表示為

(1)

式中,s(t)表示目標源信號;r1和r2分別表示對應路徑的衰減;τ表示信號到達兩測站的時延;n1(t)和n2(t)為加性高斯白噪聲,n1(t)和n2(t)不相關且分別與源信號s(t)不相關。

對接收信號進行采集,且忽略兩站同步誤差,可得

(2)

式中,n=0,1,…,N-1,N為信號采樣點數。

對采樣后的信號做N點DFT可分別得到離散頻譜為

(3)

式中,k=0,1,…,N-1,N為DFT點數;S(k)=DFT[s(n)],Yi(k)=DFT[yi(n)],Ni(k)=DFT[ni(n)],i=1,2。

用X(k)表示兩信號的互相關譜(簡稱互譜)可得

(4)

式中,k=0,1,…,N-1,N(k)為總噪聲;根據加性高斯白噪聲的特性,N(k)也為加性高斯白噪聲,可以表示為

(5)

式(4)中所示的互譜,如暫不考慮噪聲的影響,可以從結構上分為兩部分,即互幅度譜和互相位譜,分別用A(k)和Ф(k)表示,即

A(k)=r1r2|S(k)|2,k=1,2,…,N

(6)

(7)

從式(7)中可以看出,待估計的時延參數τ存在于互相位譜信息中。由于相位的周期性,所以在互相位譜中各個頻點的相位均是局限于[-π,π]內的。記Wk為頻點k相位的整周模糊度,則互相位譜的完整表達應為

Ψ(k)=Φ(k)+2πWk,k=1,2,…,N

(8)

2 不同時延定義的區別與聯系

當信號通過某一傳輸系統(自由空間也可以看作是某種系統)或網絡時,信號輸出相對于輸入總會產生時間滯后,這就是系統時延。根據信號處理的不同應用場景,時延有不同的定義,比較常見的有包絡時延、群時延和相時延。

包絡時延[7]:調制信號經過傳輸系統,輸出信號包絡相對于輸入信號的時間延遲。其表達式可表示為

(τ)|

(9)

式中,Ry1y2(τ)為信號的相關函數,其表達式表示為

(10)

群時延[7]:調制信號通過傳輸系統時,單位頻率上信號相位產生的延遲,即相位對頻率的微分。其理論表達式為

(11)

式中,φ(ω)為系統的相位響應函數。

相時延[7]:單一頻率信號或群信號中某個單頻分量通過傳輸系統,輸出信號相對于輸入信號的滯后時間。表達式為該頻率上的相位同該信號角頻率比值為

(12)

上述3種定義分別是從不同的角度來描述時延,包絡時延利用信號的幅度信息,群時延和相時延利用的是相位信息;從另一個角度來看,包絡時延是在時域處理,群時延和相時延是在頻域處理。式(11)是從微分定義出發定義群時延,但實際工程中不便于具體計算,從測量角度定義群時延為[7]

(13)

從式(13)出發并借助頻率孔徑(Δω)的概念,可以將時延的3種定義統一起來。

性質1對于非色散系統,當Δω為信號整個帶寬時,包絡時延與群時延相等。

證明假設兩路信號時延為τ(ω),根據互相關函數的定義式(10)有

(14)

將式(14)變換到頻域,根據FFT的時移性質可得

X(ω)=FFT(Ry1y2(τ))=FFT(y(t-τ))[FFT(y(t))]*=

S(ω)exp(jωτ(ω))S*(ω)=|S(ω)|2exp(jωτ(ω))

(15)

在式(15)中提取互相位譜

φ(ω)=jωτ(ω)

(16)

當傳輸系統為非色散系統時

φ(ω)=jωτ

(17)

對式(17)的等號兩端微分,即包絡時延等于群時延。

證畢

性質2當Δω趨于0時,群時延等于相時延。可以從式(12)中直接得到,無需證明。

根據性質1和性質2,包絡時延和相時延都可以看作是群時延的兩種特例。在時延測量中,分辨率與精度是兩個重要指標。根據式(13),在相位測量精度一定時,Δω的選擇將直接影響群時延測量精度與分辨率。Δω越大,測量分辨率越高,但精度越低;Δω越小,測量精度越高,但分辨率越低[7]。無法僅通過一次測量獲得分辨率和精度都足夠高的時延估計,這是時延測量的基本矛盾。

3 基于干涉相位的兩步法方案

3.1 兩步法的基本思路

工程實踐中,通常希望獲得精度和分辨率都足夠高的時延估計。但通過第2節的分析可知,無法僅通過一次測量就獲得這樣的估計值。另一方面,頻率孔徑Δω在時延測量中扮演中重要的角色。對于包絡時延,Δω趨于信號全頻段,此時分辨率最高,但精度最低;對于相時延,Δω趨于0,此時精度最高,但分辨率最低。這與現實經驗并不矛盾,兩個單頻信號做互相關操作,理論上應當得到無數等幅度的“周期峰”,無法通過峰值搜索來確定時延。相關函數的“周期峰”和互相位譜丟失整數倍2π的現象,可以統稱為整周模糊。如果借助某種方法預先將模糊度解算出來,便可以獲得高精度、無模糊(高分辨率)的時延估計。

第2節包絡時延、群時延和相時延的定義,盡管表達形式有所不同,但其理論上都是對同一物理量的表征,在統計意義上應該具有相同的期望值,即滿足

(18)

式中,E(·)表示取期望。

根據上述分析,針對無法一次性獲得高精度無模糊時延估計的問題,提出兩步法解決思路。第一步利用大孔徑(信號全頻段)獲得無模糊低精度的預估值,第二步用其引導小孔徑(單一頻率)模糊度解算,最終得到高精度無模糊的時延估計。

3.2 基于Kalman的濾波干涉相位誤差消除

從式(17)中可以看出,互相位譜的干涉相位與頻率呈線性關系,故也被稱為“干涉條紋”,條紋斜率即待估時延。系統傳播、同步偏差、設備熱噪聲等都可能使得干涉相位測量值與理論值存在一定偏差。在統計信號處理框架下,干涉相位可以看作一個隨機過程,若其狀態轉移矩陣先驗已知,就可以利用Kalman濾波器對信號進行濾波處理,以改善其信噪比。

根據Kalman濾波理論,狀態轉移方程與測量方程可以表示為

(19)

式中,wk-1和vk分別表示過程噪聲和測量噪聲,兩者相互獨立且均為零均值高斯白噪聲;xk為頻點k的狀態向量,定義為

(20)

(21)

(22)

圖2 濾波前后干涉相位對比圖Fig.2 Comparison of interferometry phase before and after filtering

3.3 理論分析

利用預估值解模糊時,預估值精度需要滿足一定的條件,方可保證解算的正確性。以群時延預估值為例,可以通過式(23)得到整周模糊的估計值。

(23)

(24)

根據3σ準則,可以得出

(25)

合并式(24)和式(25),可得

(26)

滿足式(26)時,解模糊正確率理論上為99.7%。例如對于射頻載頻為2 GHz的信號,群時延預估值精度要求為±83.33 ps。在信號處理領域,克拉美-羅下界(Cramer-Rao lower bound, CRLB)是常見的理論下界。CRLB是在信息論的理論框架下推導的,與具體采用的方法無關,只與模型提供的信息量有關。傳統一步法模型下的CRLB(single stage CRLB, SS-CRLB),可以表示為

(27)

式中,T為信號持續時間；B為帶寬,信噪比(signal-to-noise ratio, SNR)。例如對于T=0.1 ms,B=10 MHz,SNR=10 dB的信號,CRLB為24.66 ps,滿足式(26)的要求,采用適當的方法,能引導正確的模糊解算。

兩步法模型中的第一步就是傳統的模型,但第二步利用了信號的射頻信息,以及待估值的結構信息,所以兩步法模型信息量大于一步法模型。因此,兩步法估計值理論上能突破SS-CRLB,這在第4節仿真部分將得到驗證。

3.4 基于中位數信任域的統計方法

傳統相時延估計方法中只利用率單一頻點(如載頻處)的相位進行估計,但實際工程中接收到的信號通常都是有一定帶寬的,含有豐富的頻率信息,傳統方法的頻帶利用率顯然不高;其次,只利用單一頻點處的信息,估計結果易受相位噪聲干擾,影響估計精度。為此,利用基于中位數信任域的統計方法[8]進行統計處理,進一步提升估計精度。該方法可表示為

(28)

(29)

3.5 算法步驟

步驟1對兩路接收信號做FFT,分別得其頻譜;

步驟2利用兩路信號頻譜生成互譜,并提取互相位譜;

步驟3對互相位譜進行Kalman濾波,抑制相位噪聲;

步驟4依據濾波結果得到時延預估值;

步驟5對信號頻段內所有頻點解算整周模糊,利用濾波后的干涉相位測量值得該頻點上的相時延估計;

步驟6設定信任域半徑,按照式(28)、式(29)對多個頻點得到的估計值統計平滑,最終得到高精度無模糊的時延估計值。

上述步驟1～步驟4為本文定義兩步法的第一步,對應大頻率孔徑;步驟5～步驟6為第二步,對應單頻孔徑,可見該方法綜合了大、小孔徑的優點。

4 仿真與分析

首先定義時延估計的均方根誤差(root mean square error, RMSE)如式(30)所示

(30)

仿真實驗1固定信號帶寬和采集時間比較不同方法均方根差(root mean square error, RMSE)隨SNR的變化情況。條件設置為:信源編碼采用二進制頻移鍵控(binary phase shift keying, BPSK),碼元速率為10 Mbps,射頻載頻為2 GHz,采樣率為5 GHz,信號采集時間為0.1 ms,真實時延設為30倍采樣間隔,即τ=6 ns,第二步統計過程中的信任域半徑D=10 ps。SNR從0～30 dB,每隔3 dB取一個值進行1 000次蒙特卡羅實驗,統計RMSE變化曲線如圖3所示。

圖3 不同算法RMSE隨SNR變化曲線對比Fig.3 Comparison of changes of RMSE with SNR

仿真實驗2固定信號SNR和采集時間比較不同方法RMSE隨信號帶寬的變化情況。基本條件設置同實驗1,SNR設為20 dB,信號帶寬從0～30 MHz,每隔2 MHz取一個值進行1 000次蒙特卡羅實驗,統計RMSE變化曲線如圖4所示。

圖4 不同算法RMSE隨帶寬變化曲線對比Fig.4 Comparison of changes of RMSE with bandwidth

需要注意的是,由于相位對噪聲的敏感性,為保證估計的準確度,實際系統中需采用高精度的時頻同步方案,如基于光纖連接線的時頻傳遞方案[9]。為簡化仿真中采集的同步過程,采用射頻直采的方式。

從圖3和圖4中可以看出,本文方法估計精度明顯優于對照方法,包括經典的GCC法,互譜法以及文獻[3]中的單一載頻處的相時延法。參與比較的還有式(27)所示的SS-CRLB。

圖3中在SNR低于15 dB的區域,GCC方法精度最低,本文方法、互譜法以及載頻相時延法性能差別不大,且都在SS-CRLB范圍內;隨著SNR的逐漸增大,所有方法的精度都有所提升,其中GCC法和互譜法的增長趨勢同SS-CRLB一致,這和理論分析相符,但載頻相時延法和本文方法卻突破了SS-CRLB,其原因已在第3.3節中描述。進一步看出,本文方法的精度優于載頻相時延法,得益于在信號頻段內所有頻點處都進行了估計,并引入了統計平均的過程,一定程度上平滑了相位噪聲的影響。圖4中以帶寬為7 MHz為界分為了兩部分,在小于7 MHz的區域,現象同圖3相仿;大于7 MHz的區域卻有所區別,載頻相時延以及文本方法估計精度不再隨帶寬的增加而有明顯提升,后者精度同樣優于前者。綜上,本文方法實現了高精度無模糊的時延估計,性能優于傳統方法,對于10 MHz的信號,SNR高于18 dB時,估計精度優于1 ps。

5 結 論

借助頻率孔徑的概念,將包絡時延、群時延和相時延的定義統一起來,揭示了分辨率與精度的矛盾是時延測量領域的基本矛盾。針對無法通過一次測量得到分辨率和精度都高的時延估計,提出兩步法解決方案。第一步用大孔徑獲得無模糊、低精度的預估值,第二步利用預估值引導高精度相時延模糊度解算,最終得到高精度、無模糊的估計值。在第一步中,利用Kalman濾波器改善干涉相位抗噪聲性能;在第二步中充分利用信號頻段內豐富的頻率信息得到多個估計值,采用基于中位數信任域的方法對多個結果統計平均,提升了頻帶利用率,進一步提高了估計精度,對于10 MHz的信號,SNR高于18 dB時,估計精度優于1 ps。該方法簡單可靠、運算量小,具有較高的工程應用價值。低信噪比和窄帶條件下高效的解模糊方法是下一步研究重點。