基于疊加法作結構彎矩圖的新思考

景正鳳 （四川核工業技師學院，四川 成都 611130）

1 引言

在土木工程實踐中，往往須對實際結構抽象簡化成結構計算簡圖，然后進行內力分析，并作彎矩圖，這也是工程設計中必不可少的步驟，而通過一步步利用力和力矩平衡方程求解支座反力，再作出剪力圖進而作出彎矩圖在工程實際中是很難實現的，原因在于平衡方程過多，還有聯立方程求解太過于麻煩，這都給彎矩圖的繪制帶來了諸多不便。而彎矩圖又是梁和剛架最重要的內力圖，作彎矩圖也是結構力學最重要的基本功，往往“手算怕繁，電算怕亂”，手作彎矩圖必須化繁為簡，才能提高速度。尤其對于復雜結構，特別是超靜定結構，還要靈活運用疊加法進行分析和計算，并充分利用力學概念和適當的定性分析，將定量計算壓縮到最低限度，才可大大提高作彎矩圖的速度和正確性。

2 關于疊加法

2.1 疊加原理

在小變形的情況下，結構在幾個荷載共同作用下所產生的內力，等于各個荷載單獨作用時所產生的內力之和。這也就是說可以將多種類型荷載作用下的結構看成是單一荷載作用下的結構之和，而單一荷載作用下的結構的彎矩圖，用截面法較易求得和掌握。如圖1所示。根據疊加原理，簡支梁在均布荷載和兩端鉸支座處集中力偶荷載共同作用下所產生的內力，等于其均布荷載和兩端鉸支座處集中力偶荷載單獨作用時所產生的內力之和，即圖 1（c）= 圖 1（a）+圖 1（b）。

圖1 疊加法畫彎矩圖

2.2 疊加時的注意事項

①疊加時宜先作直線形的彎矩圖，再以直線邊為基線疊加曲線形或折線形的彎矩圖，重疊部分擦去即可。

②彎矩圖的疊加不是兩個圖形的簡單疊加，而是對應點處縱坐標的疊加。即必須注意疊加后的每一縱坐標應等于單一荷載作用時彎矩圖中相應的縱坐標之和，同側的縱坐標應相加，異側的縱坐標應相減；此外，對縱坐標具有不同正負號的部分，疊加后兩個圖形重疊部分表示兩個縱坐標值互相抵消，不重疊部分即為所求的彎矩圖。如圖2所示。

2.3 疊加法的解算

①選定控制點（此時控制點不包括各均布荷載段跨中點），求出控制截面的彎矩值。

②分段作彎矩圖。當控制截面間無荷載作用時，根據控制截面的彎矩值，即可作出直線彎矩圖；當控制截面間有荷載作用時，根據控制截面的彎矩值作出相應直線彎矩圖后，還應疊加上這一段按簡支梁求得的彎矩圖。

3 分段疊加法

分段疊加法是指用疊加法作某一直桿段彎矩圖的方法。即任意段直桿都可當作簡支梁，并可以利用疊加法來作該直桿段的彎矩圖。如圖3所示，對圖示簡支梁把其中的AB段取出，其隔離體如圖所示，把AB隔離體與相應簡支梁作一對比，顯然兩者是完全相同的，因此，上圖中簡支梁AB段的彎矩圖可以用與簡支梁相同的方法繪制，即把MA和MB標在桿端，并連以直線，然后在此直線上疊加上節間荷載單獨作用在簡支梁上時的彎矩圖，為此必須先求出MA和MB。

4 疊加法的活用

疊加法是以疊加原理為依據的結構分析方法，它的好處是能將一個復雜的問題分解為若干個簡單的問題進行分析，具有廣泛的適用性，尤其是分段疊加法。如前所述，要作結構中某一直桿段的彎矩圖，只要先求桿段兩端的彎矩，作相應的“桿端彎矩圖”（直線）；再將該段直桿看成簡支梁，作它在橫向荷載和力偶荷載作用下的彎矩圖，簡稱“簡支梁彎矩圖”，在桿端彎矩圖的基礎上疊加“簡支梁彎矩圖”，就得到該桿端的彎矩圖。事實上，這一方法可用公式表示為M（x）=Me（x）+Mo（x），式中Me（x）和Mo（x）分別對應于桿端彎矩圖和簡支梁彎矩圖，M（x）為桿段的實際彎矩圖。

如圖4所示三鉸剛架的彎矩圖，傳統的解法可以分以下幾個步驟：①求支座反力，先用整體平衡條件求豎向反力，再取左邊或右邊半個剛架為隔離體，對頂鉸取矩，求水平反力；②求控制截面的彎矩，主要是豎桿頂部結點的彎矩；③用分段疊加法作彎矩圖。

顯然，以上解法其正確性是沒問題的，只是刻板了一點，其實這道題可以換一種靈活的方法來求解。即首先大致作出彎矩圖的形狀。豎桿不受荷載作用，彎矩圖為直線；兩個支座水平反力大小相等、方向相反，所以豎桿頂端的彎矩一定相等，從而水平桿兩端的彎矩也相等；水平桿受均布橫向荷載作用，彎矩圖為二次拋物線，這條拋物線一定要通過頂鉸；由于對稱性，拋物線的形狀也是對稱的?？缍葹閘的簡支梁在集度為q的均布荷載作用下，其跨中彎矩值為，由疊加法反推可知，水平桿兩端以及豎桿頂端的彎矩也是。如果需要，還可以很容易的由彎矩圖求出支座的水平反力。以上求解過程寫出來是一大堆文字，好像很啰嗦，實際上，它的主要工作是在“心里”完成的，是利用力學概念和定性的分析，計算被壓縮到了最低限度，從而大大提高了作彎矩圖的速度，并且準確。

圖3 分段疊加法

圖4 三鉸剛架的彎矩圖

上面所舉的例子，是剛架，且結構和荷載都是對稱的，其實這并非必要，如圖5所示，是一個不對稱的例子，解題的關鍵是求其支座B處的負彎矩，由圖5所示的疊加關系及幾何關系很容易求得MB的絕對值為，將圖中的MB改為，所求的彎矩圖就完成了。

圖5 不對稱連續梁的彎矩圖

由此可見，靈活運用疊加法不僅可以節省很多計算工作，大大提高作彎矩圖的速度，還可以加強對結構的定性分析和力學概念的理解。

5 結語

為避免作結構彎矩圖的麻煩，盡可能不用或少用平衡方程，就得充分、靈活運用疊加法作結構彎矩圖的一些基本理念和分析方法來解決問題，將復雜問題簡單化，同時還能培養我們深入分析問題繼而用更合適的方法來解決問題的能力，但這要熟練掌握有關力學概念和適當的定性分析方法，才能達到目的，這就是熟能生巧的道理。