可違約債券的現(xiàn)值推導(dǎo)：假定利率和違約強度服從Cox—Ingersoll—Ross過程

秦絲絲

摘 要：可違約債券定價模型在金融衍生品盛行的現(xiàn)今已大量存在。首先，假定利率和違約強度服從CIR過程，該過程可以捕捉到不確定過程的均值回歸和條件異方差性，由于其利率和收益率都非負，其瞬時利率由非中心卡方分布表示，所以要優(yōu)于Vasicek模型。但是，CIR模型的操作要難于Vasicek模型。最后，通過擴展了的D-S模型，通過引入隨機過程作為可違約票據(jù)的部分持有成本，構(gòu)造了有流動性風(fēng)險的可違約債券價格，最大限度捕捉流動性風(fēng)險的市場特征。

關(guān)鍵詞：可違約債券；CIR模型；D-S模型

中圖分類號：F830.91 文獻標志碼：A 文章編號：1673-291X（2018）23-0157-02

CDS（信用違約互換）作為信用衍生品的主流產(chǎn)品，同時也是金融市場上進行風(fēng)險管理的新工具。2018年金融風(fēng)暴的來襲提示著我們管理信用風(fēng)險已成為當務(wù)之急。許多經(jīng)濟學(xué)家對CDS的定價模型做了不同的研究，一般在對參數(shù)做出一兩個相關(guān)的假設(shè)后，模擬金融數(shù)據(jù)、模型的相關(guān)性以及定價的解。本文主要考察信用違約互換的定價模型，基于簡化模型的原理，通過改變仿真參數(shù)，假設(shè)信用違約互換與利率之間的關(guān)系與違約強度之間的關(guān)系，借助均值方差對沖方法來研究違約風(fēng)險，并通過自己的假設(shè)給出違約債券的定價公式。

文章從基本的D-S模型入手，該模型的基本思想是用調(diào)整后的短期匯率過程R=r+λ替代普通的短期利率過程r，然后利用無風(fēng)險債券的定價模型推導(dǎo)出可違約債券的價值，基于Duffie and Singleton（1999）的風(fēng)險中性概率：

V（t，T）=E （exp（- Rtdt）X）=E （exp（- rt+λtdt）X）

這里的X代表不發(fā)生違約時應(yīng)該支付給債券持有人的報酬，本文將通過設(shè)定利率和違約強度都服從CIR過程來對該方法進行延伸。

令利率r和違約概率λ都服從Cox-Ingersoll-Ross過程，首先設(shè)置三個假設(shè)。

1.利率和違約概率都服從CIR模型：

其中，ab>0、αβ>0反應(yīng)風(fēng)險中立過程的平衡值，wr、wλ代表標準的布朗運動，ɑ、α代表均值回歸的調(diào)整速度，θ、δ是瞬時方差。

2.無風(fēng)險利率過程和違約概率過程不相關(guān)，意味著布朗運動wr和wλ也不相關(guān)。這個假設(shè)可以確保該模型最終得到一個顯示表達式。

3.違約債券面值的恢復(fù)，即如果假定當違約發(fā)生時預(yù)期損失率w是一個外生變量，那么債券持有者可以得到（1-w）作為債券面值的一小部分。

基于以上假設(shè)和Duffie and Singleton（1999）可以得到含有定期付款違c的可違約債券價格：

V（r，λ，t）

=E [c exp（- rs+λsds）dt]

+E [exp（- rt+λtdt）]

+E [（1-w） λtexp（- rs+λsds）]（3）

第一部分表示到期日無違約事件發(fā)生的利潤現(xiàn)值，第二部分表示到期日無違約事件發(fā)生的債券面值的現(xiàn)值，最后一部分代表違約發(fā)生時的回收價值的現(xiàn)值。為了得到該表達式的值，設(shè)置：

由邊界條件F（T，T）=1，可以得到A（T，T）=1、B（T，T）=0。以上公式的解為：

A（t，T）=ln（ ）

B（t，T）=

h= （14）

由于無風(fēng)險利率和可違約概率服從相同的過程，最終的解也應(yīng)該相似，利用同樣的方法設(shè)置：

M（λ，t）=C（t，T）exp（-D（t，T）λ）（15）

解為：C（t，T）=ln（ ）

D（t，T）=

m= （16）

接下來需要找到G的解，基于伊藤定理G（λ，t）應(yīng)該滿足：

從公式（6）得到G（T，T）=λ，假設(shè)：

G（λ，t）=[M（t，T）+N（t，T）λ]exp（-F（t，T）λ）（18）

邊界條件為M（T，T）=F（T，T）=0、N（T，T）=1，F(xiàn)（t，T）的值類似D（t，T）的值。滿足：

基于最初的三重假設(shè)可以得到可違約債券的值為：

V（r，λ，t）=c A（t，t）exp（-B（t，t）r）C（t，t）exp（-D（t，t）λ）dt+A（t，T）exp（-B（t，T）r）C（t，T）exp（-D（t，T）λ）+（1-w） A（t，t）exp（-B（t，t）r）（U（t，t）+V（t，t）λ）exp（-D（t，t）λ）dt（20）

實證文獻已經(jīng)證明，收益率不能完全被信用風(fēng)險因素所解釋（Hull、Predescu、White2004），流動性風(fēng)險是收益率的另一種重要的影響因素。考慮到證券價格的流動性，低流動性的證券價格低，高收益可以補償投資人的額外風(fēng)險，超額收益被稱為流動性溢價。此外，可允許流動性效應(yīng)可以通過引入隨機過程l作為可違約票據(jù)的部分持有成本，這里僅需要增加一個額外的項目：dl=？漬（？滋-λ）dt+g dwl（意味著流動性風(fēng)險服從Vasicek模型），同時有：Q（l，t）=E [exp（- ltdt）]=K（t，T）exp（-Z（t，T）λ）

最后得到包含流動性風(fēng)險的可違約債券的值，最初的方程（3）變?yōu)椋?/p>

V（r，λ，t）

=E [c exp（- rs+λs+lsds）dt]

+E [exp（- rt+λt+ltdt）]（21）

+E [（1-w） λtexp（- rs+λs+lsds）dt]

這種情況下可違約債券的解為：

V（r，λ，t）=c A（t，t）exp（-B（t，t）r）C（t，t）exp（-D（t，t）λ）K（t，t）exp（-Z（t，t）l）dt+A（t，T）exp（-B（t，T）r）C（t，T）exp（-D（t，T）λ）K（t，T）exp（-Z（t，T）l）+（1-w） A（t，t）exp（-B（t，t）r）K（t，t）exp（-Z（t，t）l）（U（t，t）+V（t，t）λ）exp（-D（t，t）λ）dt（22）

對應(yīng)的解類似于之前的模型。鑒于Duffie-Singleton模型的靈活性，這部分擴展了D-S模型，同時構(gòu)造了有流動性風(fēng)險的可違約債券價格。假定隨機過程服從均值回歸的平方根擴散，最大限度地捕捉流動性風(fēng)險的市場特征。考慮到定價一個可違約債券的流動性風(fēng)險可以更加準確地估量風(fēng)險中立的違約強度，這有利于對信用衍生品進行準確定價。

本文通過從基本的可違約債券現(xiàn)值推倒模型入手，假設(shè)利率和違約概率都遵循Cox-Ingersoll-Ross過程，并結(jié)合基于Duffie-Singleton模型的面值恢復(fù)假設(shè)，來得到可違約債券的現(xiàn)值。另外，文章后續(xù)擴展了D-S模型，加入了在定價模型中存在流動性風(fēng)險的情況下可違約債券的現(xiàn)值的解，這也是論證的新穎之處。

參考文獻：

[1] Choudhry，M. （2006）.The credit default swap basis（Vol. 45）. New York，NY：Bloomberg press.

[2] Fouque，J. P.，Sircar，R. and S lna，K.（2006）. Stochastic volatility effects on defaultable bonds. Applied Mathematical Finance，13（03），215-244.

[3] Ericsson，J.，& Renault，O. （2006）. Liquidity and credit risk. The Journal of Finance，61（05），2219-2250.

[4] Fouque，J. P.，Sircar，R. and S lna，K.（2006）. Stochastic volatility effects on defaultable bonds. Applied Mathematical Finance，13（03），215-244.

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