圓電流和螺線管的磁場分布

董新平

(許昌學(xué)院 電氣機(jī)電工程學(xué)院，河南 許昌 461000)

相對于靜電場，穩(wěn)恒磁場為有旋場，這使得相應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度不易直接計(jì)算和分析.在經(jīng)典電磁場理論中，按照畢奧-薩伐爾定律，磁場由電流元產(chǎn)生，通過對載流導(dǎo)線的電流元進(jìn)行積分可以得到空間中相應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布.對于具有對稱性的載流體如圓電流和載流螺線管，某些特殊位置如其對稱軸上的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向可以利用初等函數(shù)的積分以及對稱性分析得到.但對于整個(gè)空間中的磁場分布不能僅用初等函數(shù)進(jìn)行計(jì)算和分析.根據(jù)磁矢勢與磁感應(yīng)強(qiáng)度之間的關(guān)系B=×A,利用完全橢圓積分函數(shù)可以對整個(gè)空間中的磁場分布進(jìn)行計(jì)算和分析.基于這種方法，參考文獻(xiàn)[1-6] 對圓電流周圍的磁場分布進(jìn)行了詳細(xì)的分析，參考文獻(xiàn)[7-11]對載流螺線管周圍不同區(qū)域的磁場特性做了對比和數(shù)值計(jì)算.其研究結(jié)果對于理解圓電流和載流螺線管的磁場分布特性起到了重要的作用.但是相應(yīng)的研究結(jié)果對于直觀、系統(tǒng)的分析圓電流和載流螺線管的磁場分布還存在一些不足.本文利用橢圓積分函數(shù)對相關(guān)載流導(dǎo)線的全空間磁場分布進(jìn)行數(shù)值計(jì)算和對比分析，便于更全面、直觀地掌握圓電流和載流螺線管的磁場性質(zhì).

1 圓電流的磁場分布

本節(jié)首先利用磁矢勢與磁感應(yīng)強(qiáng)度的關(guān)系，給出磁感應(yīng)強(qiáng)度在柱坐標(biāo)系中的表達(dá)式,然后對圓電流的分布特性進(jìn)行數(shù)值計(jì)算和分析.設(shè)圓電流的圓心位于原點(diǎn)、半徑為a、電流強(qiáng)度為I，此圓電流產(chǎn)生的磁矢勢為

(1)

在柱坐標(biāo)系中作變量代換后矢勢A的表示形式為

(2)

利用磁感應(yīng)強(qiáng)度與磁矢勢的關(guān)系B=×A得到柱坐標(biāo)系中徑向和z方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為

(3)

(4)

對于圓電流所在的平面z=0，由方程 (4) 可知徑向磁感應(yīng)強(qiáng)度分量Bρ=0.設(shè)Bz0=μ0I/(2πa)，縱坐標(biāo)取值為無標(biāo)度值BZ/Bz0.Z方向上的磁感應(yīng)強(qiáng)度分量可由方程(3) 得出,相對應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布如圖1所示.

圖1 圓電流所在平面上的磁感應(yīng)強(qiáng)度BZ的分布

從圖1可以看出，圓電流圓心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度Bz=μ0I/2a，與利用初等函數(shù)積分得到的結(jié)果相同；在圓電流內(nèi)部0<ρ

2 載流螺線管的磁場分布

設(shè)載流螺線管的半徑為a、長度為2b，通過的電流為I,單位長度上的線圈匝數(shù)為n.在柱坐標(biāo)下載流螺線管上任取一點(diǎn)Q(a,φ′,z′)，該點(diǎn)的面電流密度為

J(Q)=nI(-sinφ′i+cosφ′j) .

(5)

點(diǎn)Q(a,φ′,z′)與空間一點(diǎn)P(p,φ,z)之間的矢徑為

R(Q,P)=(ρcosφ-αcosφ′)i+(ρsinφ-αsinφ′)j+(z-z′)k.

(6)

設(shè)載流螺線管上、下兩端邊緣的軸向坐標(biāo)分別為z2和z1，由畢奧-薩伐爾定律，載流螺線管在點(diǎn)P處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(7)

當(dāng)ρ>0時(shí)，利用方程(7)可以得到柱坐標(biāo)中空間任意一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的徑向和軸向分量[7].

(8)

根據(jù)積分區(qū)間的對稱性，柱坐標(biāo)下磁感應(yīng)強(qiáng)度的切向分量Bφ(ρ,φ,z)=0.

(9)

(10)

根據(jù)方程(8)-(10)設(shè)定相應(yīng)的參數(shù)，可以對載流螺線管周圍空間的磁感應(yīng)強(qiáng)度進(jìn)行計(jì)算和分析.首先對磁感應(yīng)強(qiáng)度的縱向分量進(jìn)行分析.如圖2所示，圖2中(a)和(b)中自上而下的三條曲線分別對應(yīng)于ρ=0,ρ=0.5a,ρ=1.1a條件下的縱向磁感應(yīng)強(qiáng)度分布情況.橫坐標(biāo)為z/a，表示距離螺線管中心點(diǎn)所在平面的高度與螺線管半徑的比值，縱坐標(biāo)表示無標(biāo)度值Bz/Bz0，其中Bz0=μ0nI.當(dāng)b/a=1時(shí)，螺線管的高度等于其直徑，從圖2(a)可以看出磁感應(yīng)強(qiáng)度分量Bz隨著距離螺線管中點(diǎn)所在水平面的高度增加而減小；同時(shí)在距離對稱軸的區(qū)域Bz逐漸減小.當(dāng)b/a=10時(shí)，螺線管的高度等于其直徑的10倍.從圖2(b)可以明顯看出，在螺線管內(nèi)部對稱軸處，Bz近似等于μ0nI，接近無限長螺線管產(chǎn)生的磁場，可以近似視為長直螺線管.螺線管內(nèi)部遠(yuǎn)離對稱軸的區(qū)域，Bz雖然也逐漸減小，但是與圖2(a)不同的是，與對稱軸距離相等的區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度Bz近似相等.在螺線管外部，Bz隨著與對稱軸的徑向距離增加而減小.

圖2 載流螺線管周圍的z方向磁感應(yīng)強(qiáng)度分布

取b/a=10，ρ/a=0～3，z/a=0～20，得到磁感應(yīng)強(qiáng)度的徑向分量Bρ在空間中分布如圖3所示，其中z方向?yàn)闊o標(biāo)度值Bρ/Bz0，Bz0=μ0nI.從圖3可以看出，在z/a=±10，即靠近螺線管端面處Bρ取得最大值,隨著高度繼續(xù)增加，Bρ迅速減小.同時(shí)可以看到，在螺線管外部，當(dāng)b/a>1時(shí)，Bρ隨著徑向距離的增大而迅速減小.

圖3 載流螺線管周圍的徑向磁感應(yīng)強(qiáng)度分布

3 結(jié)語

根據(jù)磁矢勢與磁感應(yīng)強(qiáng)度的關(guān)系和畢奧-薩伐爾定律，對圓電流和載流螺線管的磁感應(yīng)強(qiáng)度分量進(jìn)行了分析.隨后利用橢圓積分函數(shù)對相關(guān)載流導(dǎo)線的全空間磁場分布進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算和對比分析，研究結(jié)果將為更準(zhǔn)確、全面掌握圓電流和載流螺線管的磁場性質(zhì)提供幫助.