圓電流和螺線管的磁場分布

董新平

(許昌學院 電氣機電工程學院，河南 許昌 461000)

相對于靜電場，穩恒磁場為有旋場，這使得相應的磁感應強度不易直接計算和分析.在經典電磁場理論中，按照畢奧-薩伐爾定律，磁場由電流元產生，通過對載流導線的電流元進行積分可以得到空間中相應的磁感應強度分布.對于具有對稱性的載流體如圓電流和載流螺線管，某些特殊位置如其對稱軸上的磁感應強度的大小和方向可以利用初等函數的積分以及對稱性分析得到.但對于整個空間中的磁場分布不能僅用初等函數進行計算和分析.根據磁矢勢與磁感應強度之間的關系B=×A,利用完全橢圓積分函數可以對整個空間中的磁場分布進行計算和分析.基于這種方法，參考文獻[1-6] 對圓電流周圍的磁場分布進行了詳細的分析，參考文獻[7-11]對載流螺線管周圍不同區域的磁場特性做了對比和數值計算.其研究結果對于理解圓電流和載流螺線管的磁場分布特性起到了重要的作用.但是相應的研究結果對于直觀、系統的分析圓電流和載流螺線管的磁場分布還存在一些不足.本文利用橢圓積分函數對相關載流導線的全空間磁場分布進行數值計算和對比分析，便于更全面、直觀地掌握圓電流和載流螺線管的磁場性質.

1 圓電流的磁場分布

本節首先利用磁矢勢與磁感應強度的關系，給出磁感應強度在柱坐標系中的表達式,然后對圓電流的分布特性進行數值計算和分析.設圓電流的圓心位于原點、半徑為a、電流強度為I，此圓電流產生的磁矢勢為

(1)

在柱坐標系中作變量代換后矢勢A的表示形式為

(2)

利用磁感應強度與磁矢勢的關系B=×A得到柱坐標系中徑向和z方向的磁感應強度分別為

(3)

(4)

對于圓電流所在的平面z=0，由方程 (4) 可知徑向磁感應強度分量Bρ=0.設Bz0=μ0I/(2πa)，縱坐標取值為無標度值BZ/Bz0.Z方向上的磁感應強度分量可由方程(3) 得出,相對應的磁感應強度分布如圖1所示.

圖1 圓電流所在平面上的磁感應強度BZ的分布

從圖1可以看出，圓電流圓心處的磁感應強度Bz=μ0I/2a，與利用初等函數積分得到的結果相同；在圓電流內部0<ρ

2 載流螺線管的磁場分布

設載流螺線管的半徑為a、長度為2b，通過的電流為I,單位長度上的線圈匝數為n.在柱坐標下載流螺線管上任取一點Q(a,φ′,z′)，該點的面電流密度為

J(Q)=nI(-sinφ′i+cosφ′j) .

(5)

點Q(a,φ′,z′)與空間一點P(p,φ,z)之間的矢徑為

R(Q,P)=(ρcosφ-αcosφ′)i+(ρsinφ-αsinφ′)j+(z-z′)k.

(6)

設載流螺線管上、下兩端邊緣的軸向坐標分別為z2和z1，由畢奧-薩伐爾定律，載流螺線管在點P處產生的磁感應強度為

(7)

當ρ>0時，利用方程(7)可以得到柱坐標中空間任意一點的磁感應強度的徑向和軸向分量[7].

(8)

根據積分區間的對稱性，柱坐標下磁感應強度的切向分量Bφ(ρ,φ,z)=0.

(9)

(10)

根據方程(8)-(10)設定相應的參數，可以對載流螺線管周圍空間的磁感應強度進行計算和分析.首先對磁感應強度的縱向分量進行分析.如圖2所示，圖2中(a)和(b)中自上而下的三條曲線分別對應于ρ=0,ρ=0.5a,ρ=1.1a條件下的縱向磁感應強度分布情況.橫坐標為z/a，表示距離螺線管中心點所在平面的高度與螺線管半徑的比值，縱坐標表示無標度值Bz/Bz0，其中Bz0=μ0nI.當b/a=1時，螺線管的高度等于其直徑，從圖2(a)可以看出磁感應強度分量Bz隨著距離螺線管中點所在水平面的高度增加而減小；同時在距離對稱軸的區域Bz逐漸減小.當b/a=10時，螺線管的高度等于其直徑的10倍.從圖2(b)可以明顯看出，在螺線管內部對稱軸處，Bz近似等于μ0nI，接近無限長螺線管產生的磁場，可以近似視為長直螺線管.螺線管內部遠離對稱軸的區域，Bz雖然也逐漸減小，但是與圖2(a)不同的是，與對稱軸距離相等的區域磁感應強度Bz近似相等.在螺線管外部，Bz隨著與對稱軸的徑向距離增加而減小.

圖2 載流螺線管周圍的z方向磁感應強度分布

取b/a=10，ρ/a=0～3，z/a=0～20，得到磁感應強度的徑向分量Bρ在空間中分布如圖3所示，其中z方向為無標度值Bρ/Bz0，Bz0=μ0nI.從圖3可以看出，在z/a=±10，即靠近螺線管端面處Bρ取得最大值,隨著高度繼續增加，Bρ迅速減小.同時可以看到，在螺線管外部，當b/a>1時，Bρ隨著徑向距離的增大而迅速減小.

圖3 載流螺線管周圍的徑向磁感應強度分布

3 結語

根據磁矢勢與磁感應強度的關系和畢奧-薩伐爾定律，對圓電流和載流螺線管的磁感應強度分量進行了分析.隨后利用橢圓積分函數對相關載流導線的全空間磁場分布進行了數值計算和對比分析，研究結果將為更準確、全面掌握圓電流和載流螺線管的磁場性質提供幫助.