中學(xué)數(shù)學(xué)題的解題策略

汪彩鳳

很多人一拿到題目，就不知其所以然地試做，這種人的思維是混亂的、無條理的。事實上，解題應(yīng)從分析題意入手。全部解題過程可以分為以下八個步驟：

一、分析題意時，首先必須將題分為條件和要求兩部分。若是熟悉的題，只須進(jìn)行最簡單的分析，以確定該題的類型，否則，必須進(jìn)行較深入的分析。分析題意時，始終要針對題的要求，還必須特別注意弄清題的要求的實質(zhì)，明確題所求的是什么及該做什么。學(xué)會分析題意，透徹理解題的實質(zhì)，這是具備一般解題能力的關(guān)鍵一步。

每個條件都有一個或多個對象，如果條件只有一個對象，那么用這一對象的某些屬性說明其特征，如果有兩個對象，則用兩者之間的某種關(guān)系說明其特征。

例1 題目：三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為m，若將第一數(shù)減去2，而其余兩數(shù)不變，則成等比數(shù)列，求此三數(shù)。

分析：該題有三個條件，每個條件都有三個對象

條件1：三個數(shù)a、b、c成等差數(shù)列

條件2：三個數(shù)a、b、c的和為m

條件3：a-2、b、c成等比數(shù)列

二、題的綱要記述。對題意進(jìn)行初步分析的結(jié)果，應(yīng)該設(shè)法記錄下來。前面所采用的文字表述的記錄形式顯然不方便，必須尋求一種方便、緊湊、高效的形式記錄分析的結(jié)果，該形式就是題的綱要記述。題的綱要記述有三個突出特定。第一：廣泛使用各種記號、符號、字母、圖等;第二：把題的一切條件和要求都明確列出來，在每個條件的記述中，又指出其對象和特征;第三：僅記下解題所必需的東西，拋開題中其余細(xì)節(jié)。

例2 已知正三棱錐的側(cè)棱與底面成60°，求棱錐側(cè)面與底面所成二面角的大小。

該題的綱要記述如下：

已知（1）P-ABC為正三棱錐

（2）直線AP與面ABC成60°

求 二面角P-BC-A

三、解題過程的第三個步驟——探求解法，就是尋找能把題的條件和題的要求聯(lián)系起來的途徑、手段。解數(shù)學(xué)題的實質(zhì)，就是有步驟地找出所要應(yīng)用的數(shù)學(xué)原理（定義、公理、定理、法則、定律、公式等），并將這些原理運用于題的已知條件或其推導(dǎo)結(jié)果（解題過程所得的結(jié)果），即可得到題所需的答案。

探求解題方案（解法）是整個解題過程的核心內(nèi)容，分析題意和做題的綱要記述都是為探求解法服務(wù)的。一般地，探求解法可按下列程序進(jìn)行：第一步，判斷題的類型;第二步，判斷是否為標(biāo)準(zhǔn)題，若是標(biāo)準(zhǔn)題就用熟悉（現(xiàn)成）的一般法則求解;第三步，如果不是標(biāo)準(zhǔn)題，可采用以下兩種途徑：方案一，分解法——把題分解成若干個小標(biāo)準(zhǔn)題;方案二，模型法——對題進(jìn)行重新表述，把它轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)題（運用等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想）。用題中條件的必要條件替代該條件是常用手段，例如在例1中，條件1“a、b、c成等差數(shù)列”用“a+c=2b”替換，條件2用“a+b+c=m”替代，條件3用“（a-2）c=b2”替代，則該題就轉(zhuǎn)化為解方程組的標(biāo)準(zhǔn)題。對于非標(biāo)準(zhǔn)題，應(yīng)該建立題的直觀的輔助模型——題的綱要記述，把非標(biāo)準(zhǔn)題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)題是一種數(shù)學(xué)藝術(shù)，只有通過對自己的解題過程進(jìn)行深入的經(jīng)常的分析，通過解各式各樣題的經(jīng)常訓(xùn)練才能掌握。

如何判斷題的類型？按照題的要求的性質(zhì)特征可把所有數(shù)學(xué)題分為三大類。第一類，求未知數(shù)的題;第二類，證明題或說明題;第三類，變換題或作圖題。對于第一類題，在找不到較簡單的解法時，可把它轉(zhuǎn)化為一個已知類型的方程、不等式或方程組、不等式組，總可以解出來。

例3 三圓兩兩外離，它們的公切圓有幾個？

該題表面上是求“有幾個”，似乎應(yīng)屬于第一類，但實質(zhì)是作圖題，因而是屬于第三類。

標(biāo)準(zhǔn)題怎樣確定？凡是在現(xiàn)行課本中有現(xiàn)成解題法則（不論何種形式）的數(shù)學(xué)題，或者沒有現(xiàn)成法則，而這些法則可直接得自某些定義和定理（根據(jù)這些定義和定理可以確定解題綱要——即一系列解法步驟）的數(shù)學(xué)題，都稱為標(biāo)準(zhǔn)題。標(biāo)準(zhǔn)題的解題過程具有下列特點：第一，分析題意就是判斷題的類型;第二，探求解法就是根據(jù)一般法則（公式、恒等式）或一般原理（定義、定理）做出綱要——解該類題的一系列步驟（解該類題的“算法”）;第三，標(biāo)準(zhǔn)題解題本身，就是將這個“算法”作用于本題的條件。由此可見，牢記教科書（課本）中學(xué)過的所有一般法則（公式、恒等式）和一般原理（定義、定理）多么重要，同時，要善于將凝練的一般法則、原理轉(zhuǎn)化為解題綱要（即“算法”）。

例4 已知三棱錐的全面積為s，體積為v，求三棱錐的內(nèi)切球半徑R。

思路分析：三棱錐是三角形的拓廣圖形，考慮到三角形內(nèi)切圓半徑的求法（三角形面積分割法），那么三棱錐內(nèi)切球半徑的求法是否可采用“三棱錐體積分割法”，這樣就找到解題方案。

四、解題過程的第四步——實施解題。求得解題方法后，用規(guī)范的書面語言敘述解法，該步驟是必不可少的，當(dāng)然客觀題除外。

五、解題過程的第五步——驗證題解。敘述解法完成后，還必須驗證這個題解是否正確，是否滿足題的全部要求。對于實際的數(shù)學(xué)應(yīng)用題，該步驟必不可少，既要驗證是否符合數(shù)學(xué)問題，還應(yīng)驗證是否符合實際問題。

六、解題過程的第六步——進(jìn)行討論。許多題目需要考慮解的存在性及解的個數(shù)，此時就必須對題本身進(jìn)行討論。例如含參數(shù)的一元二次方程的求解就應(yīng)對參數(shù)的取值范圍進(jìn)行討論。

七、解題過程的第七步——作出答案。答案應(yīng)規(guī)范、簡潔、準(zhǔn)確。

八、解題過程的第八步——解法反思。為了學(xué)習(xí)和有意識地提高自己，最好再對題的解法進(jìn)行分析，是否還有其他解法并進(jìn)行比較，能否對該題加以總結(jié)，提煉有價值的結(jié)論，能否進(jìn)行變題訓(xùn)練等。

總之，上述八個步驟，有五個是必須的，在解任何題的過程中都有這五步（無論它們以什么形式出現(xiàn)），這就是分析題意、探求解法、實施解題、驗證題解及作出答案。其余三步（綱要記述、進(jìn)行討論、解法反思）視具體情況可省略，通常情況下都省略。