淺談計算一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)方法

張志會

(武昌工學(xué)院,湖北 武漢 430065)

一元函數(shù)的微積分，所討論的均是單變量函數(shù)，在解決實際問題時，僅知道變量間的函數(shù)關(guān)系是不夠的，有時還需要知道變量變化的快慢程度。例如，物體運動的速度，城市人口增長速度等。因此為了準(zhǔn)確地說明這些問題，就引入導(dǎo)數(shù)的概念。數(shù)學(xué)中研究導(dǎo)數(shù)、微分及其應(yīng)用的部分稱為微分學(xué)，研究不定積分、定積分及其應(yīng)用的部分稱為積分學(xué)。微分學(xué)與積分學(xué)統(tǒng)稱為微積分學(xué)。微積分學(xué)是高等數(shù)學(xué)最基本、最重要的組成部分，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)許多分支的基礎(chǔ)。微分學(xué)是微積分的重要組成部分，它的基本概念是導(dǎo)數(shù)與微分，其中導(dǎo)數(shù)反映出函數(shù)相對于自變量的變化而變化的快慢程度，而微分則指明當(dāng)自變量有微小變化時，函數(shù)值變化的近似值。本文主要闡述了在計算一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時，討論計算一元函數(shù)的多種導(dǎo)數(shù)的方法。

例1設(shè)y=e-x，求y′

解令u=-x，則y=eu，從而

=eu(-1)=-e-x.

即 (e-x)′=-e-x.

=15x2(x3-2)4．

對復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程能正確掌握后，可以不必寫出中間變量，只要記住復(fù)合過程，就可進行復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計算.

例3設(shè)y=arc sin[2cos(x-1)],求y′

解y′={arc sin[2cos(x-1)]}′

解由于ey可看作是以y為中間變量的復(fù)合函數(shù)，運用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，在方程兩端對x求導(dǎo)，得

y+xy′-ex+ey·y′=0

為求y′|x=0，先把x=0代入方程xy-ex+ey=0得y(0)=0

在計算冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及某些乘冪、連乘積、帶根號函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時，可以采用先取對數(shù)再求導(dǎo)的方法，簡稱對數(shù)求導(dǎo)法。

解先在兩邊取對數(shù)，得

lny=2ln(x2+2)-ln(x4+1)-ln(x2+1).

上式兩邊對x求導(dǎo)，注意到y(tǒng)是x的函數(shù)，得

即

例7求y=xsin x(x>0)的導(dǎo)數(shù)

解兩邊取對數(shù)得lny=sinxlnx，兩邊對x求導(dǎo)，得