基于擴展有限元的三點彎曲梁模擬

(重慶交通大學 重慶 400074)

一、引言

工程背景表明，實際工程中存在大量結構存在裂紋或因裂紋導致結構失效甚至發生工程事故。結構的斷裂破壞是結構破壞的主要形態，結構斷裂是由于結構本身產生表面裂紋或內部裂紋，在外力的作用下，裂紋進一步擴展，使結構的承載能力、適用性降低，甚至使結構喪失功能性，進而造成生命財產的損失。因此，對結構的斷裂問題以及裂紋擴展理論了解和模擬分析，確定裂紋尖端應力，在結構的檢測評估和維修加固時，可提供有力依據。將結構的正常使用年限和結構安全性能提高。

近些年國內外針對裂紋的研究不斷深入，理論研究的重點已經由傳統的斷裂力學分析轉向離散裂紋擴展分析和裂紋尖端相鄰區域的建模等問題。在模擬裂紋擴展中，需要考慮到傳統有限元計算中網格的劃分，當裂紋過單元而不過節點，就需要對網格進行重新劃分，網格重新劃分還需要推測在不同網格之間的變量。而無網格法和擴展有限元法在模擬裂紋擴展時不需要進行網格重劃分。

本文運用ABAQUS軟件的UMAT子程序建立線彈性材料材料庫，并在ABAQUS中建立模型，運用擴展有限元模擬三點彎曲梁裂縫的擴展。

二、擴展有限理論

擴展有限元法作為一種有限元方法，在1999年，被Moes、Dolbow 和 Belytschko 等人[1,2]首次提出，它不需要重新劃分網格就能用來計算不連續有限元問題。擴展有限元的基本原理是單位分解法，在研究不連續問題時，引入擴展函數來完成擴展函數與額外的自由度相關，為了提高模擬精度，添加裂尖位移場同時優化逼近函數。擴展有限元與傳統有限元相比，保留了后者的優點，同時無需對網格進行高密度化。擴展有限元不僅在裂紋擴展方面得到廣泛應用，還被應用模擬帶孔和夾雜的非均勻介質以及非線性固體力學問題中[3]。擴展有限元分析中存在裂紋尖端的應力場奇異性，裂紋尖端附近的各應力分量都與r→1/2 成正比，r為裂紋尖端與所求應力點的距離。當r→0時，各應力分量都急劇增長。在傳統的有限元法中，單元內部應力和位移常用多項式進行表示，但不能反應奇異點相鄰處的應力變化規律。擴展有限元方法(XFEM)由于其可穿過有限元單元的特性，可以減緩因裂紋處網格劃分所帶來的影響[4]。

擴展有限元與傳統有限元不同是引入了節點擴展函數，此包含兩個函數：整體劃分位移函數、沿裂紋面間斷跳躍函數。整體劃分位移函數表示為：

(1)

沿裂紋面間斷跳躍函數H(x)表達式為：

(2)

式中：x為樣本點；x*為距x最近點；n為單位外法線向量[5]。

當材料為各向同性材料時，裂紋尖端漸進函數Fα(x)表達式為：

(3)

根據傳統有限元理論，將式(1)代入虛功方程，可得到擴展有限元的平衡方程：

Kd=F

式中：K為整體剛度矩陣，d為節點位移矩陣，F為節點等效載荷矩陣。整體剛度矩陣K則由單元剛度矩陣組裝而成：

(4)

其中：

(5)

式中：Bu為一般單元幾何矩陣，Bα為裂紋貫穿單元矩陣和Bβ裂紋尖端單元幾何矩陣，D為彈性矩陣，Ωe為單元積分區域。

廣義自由度矩陣d為節點位移與附加未知量，表示為：

(6)

式中：u為一般單元節點位移矩陣、α為描述裂紋面不連續的附加未知量、βq為描述裂紋尖端應力奇異性的附加未知量.

三、應力強度因子

Irwin 的應力強度因子理論和以Griffith-Orowan理論為基礎的能量理論是目前對于線彈性斷裂力學的主要研究理論。Irwin GR基于線彈性理論，分析裂紋端部區域內的應力和應變變化規律,發現這一因子是決定裂紋端部區域應力分量的公共因素，首次提出了應力強度因子K的觀點，通過應力強度因子可反映出裂紋端部應力場強弱程度，建立了應力強度因子為參考標準的強度準則[6]。

結構斷裂的力學模型分為三種：張開型(Ⅰ型)、面對剪切(Ⅱ型)、面外剪切(Ⅲ型)。裂紋是最常見、最基本的斷裂模式，因此作為線彈性斷裂力學中重要斷裂參量Ⅰ型應力強度因子KI其求解公式如下：

(7)

式中：KI為I型斷裂的應力強度因子，y與結構的幾何形狀有關，σ為拉應力，a為裂紋寬度的一半，KIc為材料的斷裂韌性。

四、UMAT建立材料庫

在ABAQUS中用戶可使用用戶子程序接口和應用程序接口，完成復雜條件定義或根據自身需要所設定的相關參數，以及與其他軟件的數據交換。因為ABAQUS的一些固有選項模型功能有限，用戶子程序可以提高ABAQUS中這些選項的功能。本文運用ABAQUS用戶自定義子程序UMAT(User-defined Material Interface),用于定于線彈性材料屬性。通過UMAT子程序用戶可以自定義符合特地問題、特殊材料的本構模型，使用戶得以解決許多復雜問題。ABAQUS的二次開發語言主要有三種：Python、Fortran、C++。其中，Python主要用于GUI開發，Fortran主要用于用戶子程序，C++主要用于其他高級開發部分，本文建立材料庫所運用的是Fortran語言[7]。

運用Fortran語言將線彈性材料的本構方程編譯成子程序，在建模時需從ABAQUS主程序中傳入彈性模量與泊松比這兩個參數，并在提交作業前，由ABAQUS調用子程序完成計算任務。

五、模型建立

在ABAQUS中建立簡化計算模型，采用平面結構分析，梁結構的尺寸為60*10的矩形，支座的尺寸為半徑為1的半圓，重物的尺寸為半徑為5的半圓。所加載為位移荷載，重物沿y軸負向有10的位移。

圖1 三點彎曲梁模型

根據已編譯的用戶子程序，需從ABAQUS中傳入彈性模量和泊松比兩個參數，本模型彈性模量為10000，泊松比為0.35。

由于三點彎曲梁的斷裂破壞形態理論上是有跨中最大彎矩處，隨著荷載的增加，梁跨中下部出現裂縫，之后裂紋沿結構y方向進行裂紋開展。由此在劃分網格時，需針對此特性進行網格劃分處理，網格由兩邊至跨中、上部至下部逐漸加密。

六、結果分析

無預加裂縫時，此時由梁結構的Mises應力云圖(圖2)可知，在外力荷載作用下結構下部的拉應力為最大值，裂紋產生和擴展也在此處發生：

圖2 Mises應力云圖

預加裂縫時，梁在外荷載作用下會進行裂紋擴展(圖3)，圖4表明隨時間的變化裂紋的寬度的關系曲線。

圖3 模型裂紋開展模擬圖

圖4 時間與裂紋寬度的關系圖

根據裂紋擴展力學理論，采用 FEM 法建立了線彈性材料的三點彎曲梁裂紋有限元擴展模型，模擬線彈性材料裂紋的動態擴展路徑及應力分布。同時隨著裂紋的擴展，其單位長度釋放的應力、角度、時間及擴展位移的變化趨勢為先線型增大，后趨于平緩。