基本不等式的常見變形技巧

邢春柳

摘 要：基本不等式的內容內涵豐富，是近幾年來高考中的熱點考查知識點.其中，基本不等式在求解最值、值域等方面有著重要的應用，利用基本不等式時，關鍵在于對已知條件的靈活變形，使問題出現積（或和）為定值，以便解決問題，現就常用技巧給以歸納.

關鍵詞：基本不等式；最值；值域；變形

技巧一：加減常數

例1.求函數y=x+ （x≠1）的值域.

解：（1）當x>1時，有x-1>0， >0，y=x+ =（x-1）+ +1≥2 +1=5.

當且僅當x-1= ，即x=3時，等號成立，此時y的最小值為5.

（2）當x<1時，x-1<0， <0，所以x-1>0， >0，y=x+ =（x-1）+ +1=-[（1-x）+ ]+1≤-2 +1=-3.

當且僅當1-x+ ，即x=-1時等號成立，此時y的最大值為-3，綜上所述，該函數的值域為（-∞，-3]∪[5，+∞）

點評：當各項符號不確定時，必須分類討論，要保證代數式中的各項均為正.在運用基本不等式時必須時刻牢記“一正、二定、三相等”的前提條件.

技巧二：巧變常數

例2.已知0

解法一：因為00，

所以y=x（1-2x）= ·2x·（1-2x）≤ [ ]2= .

解法二：因為00，所以y=x（1-2x）=2·x·（ -x）≤2[ ]2= ，當且僅當x= -x，即x= 時，等號成立，所以當x= 時，y的最大值為 .

點評：形如f（x）=x（1-ax）或f（x）=x2（1-ax）2等可有兩種變形方法：一是巧乘常數；二是巧提常數，應用時要注意活用.

技巧三：分離常數

例3.已知x≥ ，則f（x）= 有（ ）

A.最大值 B.最小值 C.最大值 D.最小值

分析：本題看似無法使用均值不等式，但對函數式進行分離，便可創造出使用均值不等式的條件.

解：f（x）= = = [（x-2）+ +1]≥ ，當且僅當x-2= ，即x=3時，函數有最小值 ，故選D.

點評：通過加減常數，分離出一個常數是分式函數求值域常用的方法，這里一定要加減好“常數”，以利于問題的解決.

技巧四：活用常數

例4.若x，y∈R+且滿足 + =1，求x+y的最小值.

解：由x，y∈R+且 + =1得x+y=（x+y）（ + ）= + +20≥2 +20=36，當且僅當 = ，即x=12且y=24時，等號成立，所以x+y的最小值是36.

點評：通過配湊“1”并進行“1”的代換，整理后得到基本不等式的形式，減少了使用基本不等式的次數，有效地避免了等號不能同時取到的麻煩.

技巧五：統一形式

例5.已知a，b，c∈R+，求（a+b+c）（ + ）的最小值.

解：（a+b+c）（ + ）=[（a+b）+c]（ + ）=2+ + ≥2 =4，所以當a+b=c時，（a+b+c）（ + ）的最小值為4.

點評：根據分母的特點，進行結構調整為統一的形式，這樣便能快速求解。含有根號的問題也要注意形式的統一（如求函數y=x （0

編輯 馮志強