強化關聯意識，善用幾何性質

葉琳

同學們最近學習的三角函數是高中數學的重點內容，除了涉及三角函數的圖象和性質（周期性、單調性等）、三角恒等變形、三角求值等，還體現在與函數、向量、解析幾何等知識的交匯所融合成的綜合題，這些問題的解決不僅取決于同學們的基礎知識和技能，也取決于對數學方法的熟練運用，更取決于思維上的整合、化歸和遷移，

一、三角函數與函數方程的綜合

三角函數是一種基本初等函數，與一般函數是個性與共性的關系，一些三角函數問題就是基于一般函數的性質來解題.

例1 若動直線z一以與函數f（x）=sinx和g（x）=cosx的圖象分別交于M，N兩點，求MN的最大值.

分析 本題考查的是直線與兩條曲線相交線段長的最值問題，通過觀察圖象我們發現M，N兩點的橫坐標相等，線段MN的長度可以用M，N的縱坐標來表示，轉化為關于a的三角函數來求解.

小結 求最值問題首先應該考慮構造函數，根據題意將文字語言和圖形語言進行正確的“翻譯”也是常見的求解策略，通過分析圖形特征，挖掘圖形中的隱含關系，將圖形中的定性描述轉化為定量的代數關系，使得求解過程得以簡化.

例2 函數y=asin（ax+θ）（a>0，θ≠0）圖象上的一個最高點和其相鄰最低點的距離的最小值為

二、三角函數與向量等知識的綜合

三角函數是高中數學中重要的知識，平面向量多以工具性的作用呈現和結合在其他相關知識中，兩者兼有數和形的二重性.在三角函數和向量的綜合問題中，我們除了熟練運用三角和向量的基礎知識外，解題時還要結合思想方法的滲透，注意發揮幾何圖形的直觀作用和向量的工具性作用，

小結 三角函數的基礎是幾何中的相似三角形和圓，本題在向量運算中滲透了三角知識，條件NP=（√2cosa，√sina）是解題的關鍵，通過對題目的深入探究，不難發現本題想通過NP模的幾何意義構建圓，探索圓上動點的動直線與圓外定直線的夾角問題，雖然坐標代數運算是我們解題的重要方法，但是同學們不要忘記三角和向量具有的數、形二重性，幾何方法也是解題的重要方法，在學習中要克服“習慣性”偏愛“坐標”運算解題的習慣，應在理性分析基礎上選擇運用代數還是幾何方法解題.

三、三角函數的實際應用

三角函數是描述周期現象的數學模型，在數學和其他領域中具有重要的作用，是解決生產實際問題的工具.

解析 本題沒有給出自變量，如何選取恰當的參數表示出陰影部分面積S是本題的難點，將已知條件集中到三角形中是解題的關鍵，觀察發現E，F點的變化引起陰影面積的變化，保證∠EAF=45°，因此我們可以選取∠EAB=a為參數，然后利用三角恒等變換及其相關知識解題，選取角作為變量建立函數模型是常見的解題思路，

數學是思維的科學，學數學的重要性不只體現在數學知識的應用上，更重要的是體現在數學問題的思維方式上.上述幾個問題的分析啟發我們在學習中遇到問題要多觀察，思在算前，注意根據已知條件所提供的有用信息和求解目標所需要的信息，加強發散和聯想，從已有知識、方法系統中搜索相關的信息，進而尋找到合理的解決方式，借助數學思想進行嘗試、化歸.長此以往我們的思維意識將更清晰，思維目標更明確，