折紙與數學

陳昱萌

樂極生悲，上個星期因為自己的不自律，和幾個同學在物理課上折紙飛機，被班主任發現了，罰折了400個千紙鶴和90個球體基本型，折得我是手酸得不行.數學老師說數學和折紙有著千絲萬縷的聯系，我覺得吧，折紙不就是無聊時候的消遣或小朋友玩的東西嗎？周末，老師讓我們回家寫一篇數學小論文，我第一時間就想到了折紙這個話題.

折紙藝術起源于中國，義稱“工藝折紙”，是一種用紙張折成各種不同造型的藝術活動.在大部分的折紙比賽中，要求參賽者以一張無損傷的完整正方形紙張折出作品.現在折紙與自然科學結合在一起，不僅成為建筑學院的教具，還發展為現代幾何學的一個分支.折紙已經慢慢發展為一類兒童玩具，是有益身心、開發智力和思維的活動，還是一個和平與紀念的象征手段，當然也是一個極佳的消遣方式.

我有點似懂非懂，與文字相結合，便想著動手嘗試.我拿出來一張便利貼折千紙鶴，千紙鶴千顆心在我心頭飛.

第一步：一張正方形的紙，橫折一次，豎折一次，對角各折一次，這樣就留下一個“米”字形的折痕，方便下一個步驟的制作.

第二步：沿著折痕把正方形對折兩下，成了一個小正方形，將可以數出有四層紙的那個角當成頂角，沿著對角線折痕折過去，翻開來，你就會發現上面出現了你想要的折痕.

第三步：沿著上圖描粗折痕將紙鼓起來，然后沿著對角線折好.將兩邊的“鶴翅”折下來，里面的“頭”折小一點，“尾巴”折大 一點.

1.正方形紙沿折線對折

2.再對折

3.打開袋子并壓平

4.翻轉

5.再打開另一個袋子

6.兩邊折向中間

7.將蓋子折下，往上拉開

8.全部打開還原

9.利用制造出來的折痕將上面一片往上拉開

10.拉開過程中將兩邊折向中間

11.對齊中間壓平

12.翻轉

13.背面重復步驟6 -11

14.對齊中間折

15.翻轉

16.再對齊中間折

17.頭及尾巴向內從中折

18.頭部再向內從中折出嘴部

19.翅膀向兩旁拉開

20.紙鶴完成

一只小巧的千紙鶴就折好了，這里面有些什么數學知識呢？

首先，折紙有很多對折的步驟，對折也是折紙中最基本的操作，這都運用了正方形的對稱性，折出來的圖形也都有對應的一個或幾個全等圖形，正因這兩點，折紙大多用正方形的紙張.當然，真正的高手，對紙張的材料和形狀要求是很低的，他們更善于就地取材，任何一種形狀的紙，幾分鐘后就成了一件工藝品.

其次，在第二個步驟中，將正方形對折兩次.其實第一次對折，一個正方形會變成2個長方形，第二次就是4個.如果你繼續對折，8個，16個，32個……有沒有覺得這串數字很眼熟，這就是2的n次方，和我們最近在學的等比數列有密切關系.

通過上面的折紙活動，我發現生活中無處不蘊含著數學知識，只要你有一雙善于發現的眼睛.當折疊紙張的時候，我腦海中會情不白禁地出現好多幾何和代數的概念：對稱，正方形，三角形，全等三角形……這中間蘊含的幾何知識可不少，通過各種折紙實踐，幾何問題做起來也會更加得心應手，它能加強我們的空間空間想象能力，當你看見一道幾何題，腦袋里就會會浮現出那個圖形，這在今后的立體幾何學習中是很重要的.反過來說，如果沒有很好的數學基礎，稍有偏差就折不出富有美感的模型來.想做好折紙這項手工藝術活，也必須認真學好數學，研究數學規律，才會創造出更多的新作品來.

接下來我們來看一道與折紙有關的數學問題，學以致用嘛，

例 小明在學習“銳角三角函數”中發現，將如圖所示的矩形紙片ABCD沿一條過點B的直線BH折疊，使點C落在直線AB上，然后，再沿過點B的直線BE折疊，使點C落在直線BH上，還原后，這樣就可以求出67.5°角的正切值.

分析學習了必修四的三角函數后，tan 67.5°我們已經會求了，但今天我們可是動手“折”出來的，境界不一樣！

解析如圖2.

通過上面的動手實踐和思考，再到實際問題計算，你有沒有發現折紙的魅力呢？

折紙可啟發我們的創造力和邏輯思維，更可促進手腦的協調.折紙還可以豐富我們的生活，使我們的生活變得更加絢爛多彩.只要肯動手動腦，或許你也會成為一名折紙的粉絲.