等比數列與分形

沙國祥

上期我在《對稱與對稱破缺》一文的最后說到，數學作為一種文化，其基本問題或思想往往在很久前就有了萌芽，但當時未必明了或引申其深遠意義.一旦發掘出新的意義和價值，這些問題或思想便會大放異彩.

這樣的例子，歷史上并不鮮見哩！

我們先來瞧一瞧幾個與等比數列有關的“怪圖”，它們在數學史上曾被晾在一邊，現在卻因為是分形而名聲大噪.至于何為分形，它們如何與等比數列牽起手來，現在暫且不表，讀完本文你自然知曉.

一是如今大名鼎鼎、風光無限的康托爾集（不久前在網上看到一篇文章，方知它聲名遠播至數學圈之外，有人用康托爾集研究股市呢）.100多年前，康托爾集初生之時，還不為當時的“主流數學”所矚目，一如康托爾初創的集合論，尚未在數學中立穩腳跟，更不談閃亮登場啦！那康托爾集究竟是啥模樣？

康托爾集也稱“康托爾三分集”，是由不斷挖去直線段中間的三分之一而創造出來的（如圖1所示）.

可憐的康托爾集，被挖得七零八落、所剩無幾！但是，它居然還深深蘊含著一個等比數列的求和公式呢！其實，康托爾集是個“寶山”，其中還藏著許多寶貝，以后再慢慢挖掘吧！舉一個例子：如果每次挖去的線段都是“無頭”的（可視為數軸上的開區間），那么，康托爾三分集中還剩下無窮多個點，可是這些點不成氣候，它們組成的康托爾集的長度（在數學上我們嚴格地稱之為“測度”）為0.

我們再看看有趣的“謝爾賓斯基碎片”——它在歷史上也曾被拋進被人遺忘的角落，如圖2，它是由一個正三角形開始，每次不斷被挖去每個黑色三角形中間的一個小的正三角形而得，直至被挖得千瘡百孔，最后所得的圖形——“謝爾賓斯基碎片”，也是奇怪無比：面積為0，周長卻為無窮大！（面積每次減少四分之一，周長每次擴大為原來的1.5倍，你只需看圖2中第1幅到第2幅圖就明白啦！）

這就是上期我在《對稱與對稱破缺》文末介紹的歐幾里得證法啊！

它穿越2 000多年，現身于康托爾三分集、謝爾賓斯基碎片這樣的“分形”中.

何為“分形”？康托爾三分集、謝爾賓斯基碎片中的每個局部，都分別與整個圖形相似，這樣的圖形被稱為“分形”.分形的這種無窮白相似特性（比的不變性），與等比數列有著天然的密切聯系，也因此具有所謂“標度對稱性”——在放大或縮小時某些量或性質保持不變.

分形的研究約始于50年前，法國數學家曼德爾勃羅特在一篇奇文<英國的海岸線有多長》中首次闡述了分形，現在分形幾何成為數學的熱門學科，并廣泛滲透到很多學科領域中去.于是，原先鮮為人知的“怪圖”，如康托爾集、謝爾賓斯基碎片，還有本期封底介紹的“雪花曲線”等，便見怪不怪，反而成為典型的分形幾何研究對象，從受人冷落之客，一躍而升為數學、科學殿堂的座上賓！

你說，這事兒怪不怪？