讓數學思考向深處漫溯
——《認識底和高》教學

蔡萍芬

【教學內容】

北師大版五年級上冊第51頁。

【教學過程】

一、鏈接生活，設疑激惑中漸入數學之思

1.課前比身高。

師：生活中比過身高嗎？小明和小軍也在比身高，（如下圖1）你認為誰高？

生：我認為小明高。

生：我認為小軍高。

生：我認為很難說誰高，看不見下面，也許有人站在椅子上。

師：分析的很有道理，真相是什么？請看（去掉遮板，如圖2）這樣比行嗎？要怎樣比？

生：這樣比不行。要從椅子上下來，兩人站在同一地平面上。

師：現在兩人站在一個斜坡上，也是一個平面上。這樣比身高可以嗎？（如下圖3）為什么？

生：不行，因為小軍比小明多了一個小坡的高度。

（課件抽象成線，如下圖4）

師：要比出身高，我們就要把坡的高度降下來。你發現什么？

（幾何畫板演示：斜線下降的過程，身高與地面的夾角由銳角慢慢變成直角，如圖5、圖6）

生：發現人與地面的夾角慢慢變成直角，也就是互相垂直。

師：這時能比出身高了嗎？比身高時，不僅要站在同一平面上，而且人與這個平面要互相垂直。（課件閃爍垂直的記號，如圖7）

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

【思考：比身高是學生熟悉的生活情境，在同水平線上、垂直站立比高是學生已有的生活經驗，也是“認識底和高”的知識基礎。為激發學生的深度思考，創設了站斜坡上比身高的沖突情境，以“為什么這樣比不行？”之問，啟迪學生剝離生活情境的外衣，在線段與線段的比較中發現起點不同，存在著斜坡高度的差距。為解決這一沖突，借助幾何直觀課件的動態演示讓學生直觀感知在下降坡度的過程中，人與水平面之間夾角的變化。此時，比身高時與水平面互相垂直的先決條件凸顯出來，為什么要垂直的感悟學生得以意會。】

2.初識底和高。

師：請同學們看老師這里的圖片：日本折紙建筑高達5米，橋洞限高4.5米。

師：建筑高達5米的意思？

生：就是指建筑的最高點到地面的距離。

師：是這樣嗎？（教師傾斜比劃）

生：不對，應該是最高點與地面的垂直線段。

師：橋洞限高4.5米是什么意思？

生：從橋的頂部到地面高度。

（結合學生的描述，課件閃爍出現一組平行線）

師：4.5米是從這到這嗎？（斜著比劃）

生：不行，必須與地面垂直。

師：也就是這一組平行線間的垂直線段。

【思考：由人體的身高到建筑物的高，進而抽象到幾何圖形的高，是本課教學的一個邏輯線索。在學生熟悉的生活情境中尋找思維的生長點，引領學生逐漸趨向對數學本質的思考。房屋或是橋洞的高度，都是學生有直觀感知經驗的認知。但是，這種認知是模糊與淺層的，教學的目的是使其顯性化與明晰化。課例中，通過“高5米，限高4.5米是什么意思？”啟發思考，并讓學生動手比劃比劃，師生在共同討論交流中，把隱性的認知用數學語言精準表達出來，從而進入“高是最高點到地面或是一組平行線間垂直線段”的本質思考。】

二、操作探究，對比辨析中觸摸數學本原

1.試畫平面圖形的高。

師：如果把橋洞的形狀看成是梯形（課件抽象出梯形），如何畫出高呢？

師：他們畫的對嗎？為什么？

生：對，他們畫的都是垂直的線段。

師：梯形的高本質上就是平行線間垂直的線段。

生：老師我認為第二幅圖不對，看不出是這個梯形的一組平行線。高的長度是有限的。

師：有道理，我們把多余的部分擦掉。這些高可以用什么工具來驗證？（三角板）現在，三條不同位置的高都符合垂直的要求。

師：我們把這組與高互相垂直的線段叫做底，習慣把上面這條叫上底，下面這條叫下底。注意：我們一般用虛線畫高，寫上高，并在與指定底垂直的地方標上垂直的記號。

師：這組平行線間可以畫多少條高？長度呢？平時我們只要一條做代表。

生：可以畫無數條高，長度都一樣。

師：接下來，你們能用研究梯形高的方法來研究平行四邊形、三角形的高嗎？

（學生動手嘗試、反饋交流）

反饋：實物投影展示學生的答案，并結合學生的回答，動態演示畫不同底上高的正確方法。揭示平行四邊形可以畫無數條高，三角形只能畫三條高。

【思考：學生對底和高有直觀認識之后，推進數學思考需在學生畫一畫的活動中實現。給足學生自主嘗試的空間，充分利用錯誤的資源是把思考向縱深處推進的有效手段。兩個層次的嘗試，學生聚焦的思考點不同。梯形的高在對與錯的對比中，明確高的正確畫法；平行四邊形與三角形的高，在辨析中拓展學生的思維定勢，明確高并不局限于常規方向，所以梯形中可以畫出一種高、平行四邊形有兩種、三角形有三種。這一操作過程的經歷，并不停于學生技能的強化，而是以概念的深化理解為基石，促進學生深層次數學思考，實現意義理解中技能內化。】

2.揭示知識本質。

師：仔細觀察三種圖形高的畫法，它們有什么共同的地方？

生：都是與底垂直的垂線段。

師：有什么不同的地方？

生：梯形、平行四邊形的高都在一組平行線間，它們有無數條。

生：三角形的高是從頂點到底邊，所以它只有三條高。

師：如果以平行四邊形的這條邊為底，有無數條高，上邊的底逐漸縮小就成了梯形，在底邊上能畫無數條高，如果上底繼續縮短成一點，圖形就是三角形，這條底上就只能畫一條高。

【思考：知識本質的感悟需要學生在變式的材料中把握不變的規律。平面圖形的底與高具有哪些共性與個性的地方，是建構知識必要的追問。學生將會關注不同圖形的底和高本質上是互相垂直的線段，這是共性。由于個性圖形的特征不同，梯形、平行四邊形是平行線間的垂直線段，可以畫無數條；三角形是點到底邊的垂直線段，只能畫三條。學生在一個整體的環境中實現知識的感悟，這樣的聯結是牢固與靈動的。而后續課件動態演示，更是打通各種平面圖形底和高知識的關系，學生在“變與不變”視覺沖突中進一步深化本質的認知，這樣的數學思考是高效的。】

三、變式練習，靈動想象中感悟數學思想

給定底的位置，請在方格紙上畫出指定的圖形：底是3cm、高是2cm的三角形；底是4cm、高是3cm的平行四邊形。

（學生嘗試練習，選取三張形狀不一樣的圖形進行反饋）

師：這三個三角形，都符合作圖要求，為什么形狀會不同？

師：三角形的頂點在哪呢？頂點有什么特點？

生：頂點在一條直線上。

師：這條直線與底互相平行，之間的距離都是2厘米，三角形的頂點還能在哪兒？想象遠處點形成的三角形，這樣的三角形能想象出多少個？

生：在等底等高的情況下，有無數個形狀多樣的三角形。

師：可以怎么畫？

（反饋時，結合學生的描述，課件動態出現畫圖的過程）

師：同學們，今天學習的底和高，本質上是互相垂直的線段。在剛才的圖形變化中，什么是變化的？（形狀）什么是不變的？（底和高），而“守住變化中的不變，就是規律”。