立體圖形變變變

孟泰

代數中經常要進行“平方”“換元”“去分母”等各種代數變換，在幾何體中同樣也需要“變換”，常見的變換有：平移、旋轉、作截面、側面展開、割補、翻折、壓縮（如果選修了3-3《球面上的幾何》，就會知道還有進行連續變形的所謂“拓撲變換”）.

在定義幾何體時，課本中（蘇教版必修2，以下同）采用了如下變換技巧：

（1）平移：將多邊形沿某一方向平移可得棱柱，如圖1.

（2）旋轉：將平面曲線繞某一直線旋轉可得旋轉體，如圖2.

（3）作截面：將錐體作平行于底的一截面可得臺體，如圖3.推導直棱柱或圓柱體側面積公式時課本用到了如下變換技巧：

（4）側面展開：將立體幾何問題轉化為平面幾何問題，如圖4.運用側面展開可解決一類圓柱表面上的線繞問題，在高考中有時還會用到如下變換：

（5）割補：將不規則或不便處理的幾何體割補成便于處理的幾何體.如：三棱錐A-BCD的三側棱兩兩垂直且內接于球（如圖5），側棱長為1，2，3，求球面面積.可補成長方體，則長方體的對角線即為球的直徑.所以R=1/2√（1+4+9）=1/214√，所以s=14π，

（6）翻折：要注意不變量.

如圖6，三棱錐S-ABC的底面△ABC的面積為8，側面△SAB的邊AB上的高為3，求三棱錐S-ABC的體積的最大值.

因為V=1/3Sh，其中s=8為窟值，只要h最大，V就最大，

所以只要將側面SAB繞AB翻折到垂直于底面的位置，即當面SAB上面ABC時h最大，則體積最大為V最大=1/3××8=8.

（7）壓縮：推導簡單（凸）多面體的歐拉公式（只要了解）時，可將多面體壓縮到底面所在的平面上，有時解題也需要運用此變換.例如，

已知正四棱錐底面邊長為a，側棱長為b，求a：b的取值范圍.

如圖7，將P點壓縮到0點，反之將0點拉伸就構成正四棱錐，

因為AB：OA=√2，而PA>OA，所以以：b=AB：PA

同學們在復習中要學會歸納小結.如，通過上述關于幾何體變換的回顧總結，我們認識到，運用各種幾何體的變換，能讓幾何體“動”起來、“活”起來.根據問題需要，作出適當的變換，同時注意抓住變換中的不變量（性），就可以駕馭幾何體.