規范靈活的思維是解決壓軸題的關鍵

陳博文

函數與導數作為高中數學的核心之一，在高考命題中常常作為壓軸題出現.我們在此類題型的解題過程中經常步履艱難，不知從何下手，以至于最后對其產生了畏懼之心，

其實，函數與導數題型的難度，在于它的邏輯思維戰線長，中間一波三折，又可穿插考查分類討論、數形結合等多種數學思維.在解題過程中，我們的思維易出現混亂，往往說理不清甚至不能繼續答題，因此，把自己的解題思維變得規范、靈活、有條理、簡潔，是十分必要的.

規范的思維，首先在于如何去分析問題、解決問題，并快速地從知識儲備中提取所用知識，常見題型的各種問題，每一步的操作步驟，甚至具體到在哪一點上自己易出錯，都應熟記于心，基礎扎實，不僅是指知識上的準確，更在于運用的熟練，即能形成一套規范的解題程序，而這種規范思維的養成，需要平時多整理、多思考、多練習.

下面，我以一道題目為例來說明.

題目 （2017年山東理科卷第20題）已知函數f（x）=x2 +2cosx，g（x）=ex（cos xsinx+2x-2），其中e=2.71828…是自然對數的底數.

（工）求曲線y=f（x）在（π，f（π）處的切線方程；

（Ⅱ）令h（x）=g（x）-af （x）（a∈R），討論h（z）的單調性并判斷有無極值，有極值時求出極值，

分析 （I）明顯是切線問題.對于這一類問題，我們的基本思維為抓住切點建方程，列出點斜式便可較快地得出答案.

（Ⅱ）是探究函數的單調性和極值.其基本步驟為：求出h'（z），并探究它與零的關系.通過對參數討論的手法來描繪出函數圖象的特點.

解題歷程 （I）由題意可得f（π）=π2-2，故切點坐標為（π，π2-2）.

又f '（-）一22 2sinx，故f'（π）= 2π，因此，切線方程l：y-（π）= f'（π）（x-π），

整理得l：2xπ-y-π2-2 =0.

（Ⅱ）由題意，h'（x）=ex（cosx-sinx+2x-2）+e x（sin x-cosx+2）-a（2x2sinx）.

自問1：h'（x）的表達式過于冗長，應該如何處理呢？

自答1：由于h'（x）的表達式過于冗長，（Ⅱ）問大部分同學因此折戟沉沙.那么我們是如何通過導數來研究圖象的？我們通過討論導數與零的關系來畫出草圖研究極值，但對于現在的h'（x），我們似乎很難討論它與零的關系.此時，規范的程序性思維便派上了用場，對這種和差形式的導數，最通常的辦法是通過因式分解求出變號零點，再進行討論.

于是可得：h'（x）=2ex（x-sinx）2a（x-sinx）一2（ex-a）（x-sinz）.

自問2：因式ex-a與零的關系需要進行分類討論，因式zSln z不含有任何參數，那么x-sinx與零的關系如何？

自答2：既然因式x-sinx不含有任何參數，那么x-sinx與零的關系只與變量x，有關，可以新設函數，進行研究；對于因式ex-a，可令ex- a=0，即e x=a，若使得該方程有解，只需要討論參數a與0的關系，當a≤0時，顯然ex-a>0，當a>0時，方程ex=a的解為x=lna，此時需要綜合x-sinx的零點進行分類討論.

設m（x）=x-sinx.

由于m'（x） =1- COS x≥0，則m（x）在R上單調遞增.

又因為m（0）=0，所以當x<0時，m（x）O時，m（x）>m（0），即x-sinx>0.

設n（x）=e x-a，則h'（x）=2m（x）.n（x），

（l）當a≤0時，ex-a>0恒成立.

則當x <0時，h'（x）<0，h（x）單調遞減；當x>0時，h'（x） >o，h（x）單調遞增；當x=0時有最小值矗（0）=-2a-1，無極大值.

（2）當a>0時，令ex-a=0得x=Ina.

①若Ina <0，即O0，所以h（x）在（-∞，Ina）上單調遞增；當Ina0，故h'（x）<0，故h（x）在（Ina，0）上單調遞減；當x>0時，m（x）>0，n（x）>0，故h'（x）>0，因此h（x）在（O，+∞）上單調遞增；因此x=Ina時，h（x）取到極大值為h（Ina），x=0時，h（x）取到極小值-2a-1；

②若Ina=0，即a=l，當x<0時，m（x）0，當x>0時，m（x）>0，n（x）>0，h'（x）>o，因此h（x）在（-∞，+∞）上單調遞增；無極值；

③若Ina >O，即a>1，當x<0時，m（z）<0，n（x）<0，故h'（x）>0；當0Ina時，h'（z）>0，h（x）在（Ina，+∞）上單調遞增；因此x=0時，h（x）取到極大值，h（0）=-2a-1.x=lna時，h（x）取得極小值為h（Ina）.

綜上（1）、（2）分類，便可得最終答案.

評注：細思本題，仍然考查處理函數與導數問題的通性通法，本題能作為壓軸題，重點在于考查數學的基本功，如因式分解、分類討論等，只不過對這些通性通法的考查，換了復雜的的函數背景.我們在日常的復習過程中，應該注入研究性思維，尋找萬變不離其宗之“宗”，揭示問題的本質，例如本題涉及的切線問題，核心在于抓住切點建方程，那么由切點引發的結論是什么？切點可得切線斜率、切點在切線上、切點在曲線上，利用關于切點的這三條，關于切線甚至于較難的問題我們也會迎刃而解，對于（Ⅱ）問，我們要始終確信，在我們應該掌握的知識范疇內，只要研究導數，就一定是研究導數與0的關系，這樣我們也就清楚了單調性、極值點的問題了，對于分類討論，是因需要才討論，不是去欣賞怎樣討論對不對的問題，而是解決為什么要討論的問題，很明顯，弄清楚了兩個因式m（x），n（x）與0的關系，我們得到了關于參數a的一級討論點“0”，但又無法區分兩因式與0的關系，需要比較Ina與0的大小，從而得到了關于參數a二級討論點“1”，綜合起來，即對以的討論分為a≤0，O1.這就是規范的思維總結.

規范、靈活的數學思維的養成，對導數與函數大題的解決起到了至關重要的作用.我認為在平常學習中應做到以下幾點：

1.數學思維的養成，需要做到“整理、思考、練習”，步步為營.平時多問自己幾個為什么，加強對解題步驟中細節的揣摩，將其思想融人心中，才能在舊題型上做到既快又準，在新題型上有所突破.

2.數學學習是一個循序漸進的過程，問題的深入也是思維的升華，不斷地自問自答、平時多獨立思考、總結并積累自己的解題模式并加以必要的練習，才能在考場上游刃有余.

如果說數學考試是一場思維的博弈，那函數與導數便是其最精彩的部分，愿我們一起靜下心來，去感悟數學思維的魅力，在探究數學的過程中找到自己的樂趣！