蛋糕中的組合數

胡博

引言：把一個蛋糕切1刀最多切成2塊，切2刀最多4塊，那么切3刀呢？

顯然，這是一條小學級別的、帶一點腦筋急轉彎色彩的數學題.但當年，小伙伴們的答案卻是6（如圖1）；而我思索了一會，美滋滋地向老師報出自己的答案：7.（如圖2）

可惜，這依舊是個錯誤答案.但是老師給出的“8”并不能讓我釋懷：誰家蛋糕會橫著切啊！

于是，我很自然地開始思考這樣的問題：如果只限豎著切，那么n刀最多能切成幾塊？小學的故事到此為止，下面開始用高中的知識來解決這個問題.

以圖6為例，第4刀切過了圖5中的4塊區域，并且將每塊切成了新的兩小塊.仔細分析后不難得出，要使塊數最多，第n刀必須與之前的n-l刀相交，這樣便增加n-l+l=n塊蛋糕，

可是，這不是數列問題嗎！說好的組合數呢！別急，看看上面的四張圖，線段與圓的交點分別是2，4，6，8……奇數去哪了？

腦袋比較靈活的同學可能已經反應過來了：你這是切蛋糕啊！為了保證塊數最多必須每刀都和圓有兩交點啊！是的，所以我改了下題目：在圓周上的n個點兩兩連線，最多可以把圓分成幾份？

這和剛才有什么區別呢？

我來畫張圖（如圖7）：

咦？似乎規律很明顯呢！ 1，2，4，8，16，這串數字再熟悉不過了.似乎這題已經被解決了.

直到我又加了一點：

別數了，圖8中一共31塊（中間有一小塊）.

等一等！不應該是32嗎？

七個點時，共57塊，這下徹底和2沒關系了.

仿照我們之前切蛋糕的過程，我們用圖9中的線段AB為例分析一下.這一條線與其他6條弦相交（不算首尾）.使7個區域一分為二變成14個.但并不是每條線都是如此，圖中的AC就只切了4條線5塊區域.

所以我將區域分成兩種，以AB為例，起點不算，與其他弦相交6次，每次使1塊區域分成2塊；除此之外，AB最后還和圓相交，同樣使區域+1.

由于最開始（不畫線）時有圓本身，起始值就是1，

那么，區域數就是：1+線線交點十線圓交點÷2.

線線交點怎么求呢？這些點都是兩個線段在圓內相交得到，我們可不可以求出線段數m，再算出交點數呢？

為什么會行不通呢？我們可不可以找出行不通的原因，再反向補全我們的思維漏洞呢？

如圖10，AB與CD、AD與BC的線段顯然沒有交點，為什么？因為這兩個線段在圓內沒有交點.那么O點又是從哪來的呢？是AC與BD兩線的交點.