善用幾何直觀，彰顯問題本質

繆小明

摘 要 幾何直觀是指憑借圖表、線段圖等，將抽象的數學語言與直觀的圖形有機結合，是抽象思維與形象思維的有機結合，充分展現問題的本質，以期突破數學理解上的難點。其實，幾何直觀是數形結合思想的最好體現，通過圖形的直觀性質，來闡明數與數之間的聯系，將許多抽象的數學概念和數量關系形象化、簡單化，實現代數問題與圖形之間的互相轉化，互相滲透，為研究和探索數學問題開辟了一條重要的途徑。幾何直觀是解決問題的有效方法，是探究知識本源的重要過程。

關鍵詞 幾何直觀 問題本質

中圖分類號：G633.63 文獻標識碼：A

如：《比賽場次》（六上）一課中的例題：有五位同學進行乒乓球單打比賽，每兩人之間都且只進行一場比賽，一共要舉行幾場比賽？

（1）我們可以列表來分析：

（2）我們可以用示意圖來分析：

（3）我們可以用線段圖來分析：

以上三種幾何直觀都不重復計算場數：A與其他四人，各打一場計4場；B與除A以外的其他三人，各打一場計3場；C與除A、B以外的其他兩人各打一場計2場；D與最后一人E，打一場；一共打：4+3+2+1=10（場）。

那么，如果重復計算，結果又會怎樣呢？我們借用下圖來幫助分析：

從圖上我們可以看出來，每位同學實際上場4次，只是由于每場比賽是兩個人同時上場，所以需要的場數是：5？？=10（場）。這種幾何直觀理解題意的本質與前面三種完全不同，解決問題的方法也與前面的不同。

又如，《雞兔同籠》一課中的例題：籠子里有若干只雞和兔。從上面數有8個頭，從下面數有26只腳，雞和兔各幾只？

（1）可以列表來解決：

先考慮雞兔一樣多的情況，共有24只腳，與實際的26只腳比，少了2只，所以兔子的數量應更多一點，進而得出答案：籠子中有雞3只，兔子5只。

（2）可以用假設法來解決：（我們只講一種情況）。

假設籠子里全是雞（這里我認為假設無論是雞還是兔子都只有2只腳更好一點），可以用示意圖幫助理解：

上圖可以幫助孩子們理解：不管是雞或兔，都先以2只腳算，共8？=16（只），與實際26只腳比少了10只，少的原因同學們一下就發現了。每只兔子有4只腳，卻被假設成2只腳，少了兩只腳，所以兔的只數是：10鰨？-2）=5（只），那么雞的只數：8-5=3（只）。

（3）這里介紹一種新的假設法（書本里沒有）：如圖所示：

假設雞和兔同時抬起兩只腳，共抬起16只腳，此時，雞變成了飛翔雞，兔變成了雙腳蹦蹦兔，著地的10只腳全是兔子的，那么兔的只數：（26-8？）？=5（只），雞的只數：8-5=3（只）。

上面三種幾何直觀，一是運用列表法推定；二、三種方法似乎有異曲同工之妙，算式一樣，但理解問題的角度不同，對孩子們來說，第三種理解起來較為簡單。

最后：《等積變形》一類課例：（六下）圓柱和圓錐體積的計算課

對于這類教學內容，老師采用的最好辦法，就是把孩子帶進實驗室，選擇合適的實驗器材，讓孩子親自動手，在實驗中觀察，在觀察中理解，在理解中想出解題的方法。

如：一個底面直徑是10厘米的圓柱形容器里，盛了7厘米高的水柱，將一塊不規則的鐵塊浸沒在水里，這時水深9厘米，求這塊鐵塊的體積是多少？

教師可以準備實驗材料，讓孩子親身體驗這一事實，他們很快就能理解：鐵塊的體積=上升水柱的體積，從而求出結果。

又如：給一把直尺，怎樣測出一個礦泉水瓶的最大容積（如圖1）？

在具體的教學過程中，學生們想了各種各樣的方法：

（1）干脆將瓶子里的水裝滿，然后倒進一個長方體的容器里，測出長方體容器內部的長和寬，以及水的深度，直接求出水的體積，即瓶子的最大容積。

（2）干脆先把瓶子埋在一個長方體沙坑里，再取出瓶子，最后量出沙坑里沙的高度下降了多少，以及沙坑的長和寬，算出下降部分沙的體積，即瓶子的最大容積。

我一直鼓勵孩子們：非常注重用轉化的思想來解決問題，可我們題目中沒有長方體容器，沒有沙坑，也沒有多余的水啊。有同學舉手說：圖1中裝水的部分體積是很容易求的，只要測出底面直徑和水柱的高，用求圓柱體積的方法就行了，只是上面空的部分的體積不好求？不知是誰說了一句：把瓶子倒過來。一石激起千層浪，同學們恍然大悟：正放時上面空的部分的體積不就等于倒過來后上面空的圓柱的體積嗎？

解決這道題的關鍵點：無論正放或倒放，瓶子的容積不變，瓶子里水的體積不變，瓶子里空的部分體積不變，正放時上部空的不規則體積可以用倒放時上部空的圓柱體積代替。同學們很快就能理解這個問題的本質：瓶子的最大容積=正放時水柱的體積+倒放時上部空圓柱的體積。

總之，幾何直觀主要是借助于圖表、示意圖、線段圖，實驗操作等方法幫助學生，直觀地理解數學，借助于具體形象的幾何圖形或實物，產生對數量關系的直接感知，充分彰顯問題的本質，最終幫助學生打開思維的大門，是啟迪智慧的一把萬能鑰匙。