中考中“數據的集中趨勢和離散程度”

徐愛華

關于本章內容，中考常從以下幾方面考查同學們的學習情況.

一、根據平均數、眾數、中位數、方差的意義直接解題

例1 （2018·浙江杭州）測試5位學生的“一分鐘跳繩”的成績，得到5個各不相同的數據，在統計時，出現了一處錯誤：將最高成績寫得更高了.計算結果不受到影響的是（ ）.

A.方差 B.極差

C.中位數 D.平均數

【答案】C.

【解析】平均數、方差、極差與各個數據大小都有關系.而中位數是指將一組數據按大小順序排列，如果數據的個數是奇數，那么處于中間位置的數叫做這組數據的中位數；如果數據的個數是偶數，那么中間位置的兩個數的平均數叫做這組數據的中位數.顯然，中位數只受數據排列順序的影響，最大的數更大不影響處中間位置數的大小.

故選：C.

例2（2017·山東棗莊）下表記錄了甲、乙、丙、丁4名跳高運動員最近幾次選拔賽成績的平均數與方差：

由表中數據，從中選擇一名成績好且發揮穩定的運動員參加比賽，應該選擇（ ）.

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

【答案】A.

【解析】∵甲=丙＞乙=丁，從平均數看跳高成績，越高越好，因此從甲和丙中選擇一人參加比賽.又因為s甲2＜s丙2，所以選擇甲參賽.

故選：A.

當平均數相同時，方差越小，數據越穩定；平均數不同時，一般情況下，先由平均數來決定成績的好與不好.

二、從表格或圖形中獲取有用信息

例3 （2018·四川瀘州）某校對部分參加夏令營的中學生的年齡（單位：歲）進行統計，結果如下表：

17 1年齡人數13 1 14 2 15 2 16 3

則這些學生年齡的眾數和中位數分別是（ ）.

A.16，15 B.16，14

C.15，15 D.14，15

【答案】A.

【解析】由表可知，人數最多的年齡是16歲，因此年齡的眾數為16歲；總共有9人，因此中位數為第五個人的年齡，由表可知，第五個人的年齡為15歲，因此中位數為15歲.

本題要從表格中獲取信息，根據眾數、中位數意義求出相關數值.

甲乙丙丁平均數（cm）185 180 185 180方差3.6 3.6 7.4 8.1

故選：A.

例4 （2017·重慶A卷）某班體育委員對本班學生一周鍛煉時間（單位：小時）進行了統計，繪制了如圖所示的折線統計圖，則該班這些學生一周鍛煉時間的中位數是 小時.

【答案】11.

【解析】由統計圖可知，一共有：6+9+10+8+7=40（人），

∴該班這些學生一周鍛煉時間的中位數是第二十個和第二十一個學生對應的數據的平均數，

∴該班這些學生一周鍛煉時間的中位數是11.

細心觀察，從圖表中獲取有用信息是解題關鍵.

例5 （2017·甘肅慶陽）中華文明，源遠流長；中華漢字，寓意深廣.為傳承中華優秀傳統文化，某校團委組織了一次全校3000名學生參加的“漢字聽寫”大賽.為了解本次大賽的成績，校團委隨機抽取了其中200名學生的成績作為樣本進行統計，制成如下不完整的統計圖表：

頻數、頻率分布表

根據所給信息，解答下列問題：

（1）m=________，n=________.

（2）補全頻數分布直方圖.

（3）這200名學生成績的中位數會落在______分數段.

（4）若成績在90分以上（包括90分）為“優”等，請你估計該校參加本次比賽的3000名學生中成績是“優”等的約有多少人？

【解析】（1）本次調查的總人數為：10÷0.05=200（人），則m=200×0.35=70，n=40÷200=0.2.

（2）頻數分布直方圖如下圖所示：

（3）200名學生成績的中位數是中間兩個學生成績的平均數，而中間兩個數均落在80≤x＜90中，∴這200名學生成績的中位數會落在80≤x＜90分數段.

（4）該校參加本次比賽的3000名學生中成績“優”等的約有：3000×0.25=750（人）.

例6 （2018·湖南長沙）為了了解居民的環保意識，社區工作人員在光明小區隨機抽取了若干名居民開展主題為“打贏藍天保衛戰”的環保知識有獎問答活動，并用得到的數據繪制了如下條形統計圖（得分為整數，滿分為10分，最低分為6分）.

請根據圖中信息，解答下列問題：

（1）本次調查一共抽取了_____名居民.

（2）求本次調查獲取的樣本數據的平均數、眾數和中位數.

（3）社區決定對該小區500名居民開展這項有獎問答活動，得10分者設為“一等獎”.請你根據調查結果，幫社區工作人員估計需準備多少份“一等獎”獎品？

【解析】（1）由條形統計圖可得：4+10+15+11+10=50（人）.

（2）平均數=（4×6+10×7+15×8+11×9+10×10）÷50=8.26（分）.

眾數：由圖可知得8分的人數最多，為15人，故眾數為8分.

中位數：調查一共抽取了50人，排序后，第二十五名和第二十六名的平均數為中位數，即（8+8）÷2=8（分）.

（3）50名居民的分數是總體的一個樣本，由50人中有10人獲得“一等獎”，可以得到中獎的頻率，以此再來估計概率，進而可以計算出500名居民在活動中獲得“一等獎”的獎品數量.

例7 （2018·山東青島）已知甲、乙兩組數據的折線圖如下圖，設甲、乙兩組數據的方差分別為s甲2，s乙2，則s甲2_________s乙2（填“＞”“=”“＜”）.

【答案】＞.

【解析】方法1：

方法2：由折線統計圖，我們可以看出甲組數據比乙組數據分散，故s甲2＞s乙2.

同學們在處理有關數據集中程度或離散程度問題時，首先要明確相關概念，了解它們的意義，知道它們在實踐中的應用，還要學會從表格、圖形中獲取有用信息.