均值不等式鏈的靈活運用

■河南省虞城縣高級中學 王滿意

一、基本不等式鏈

若a、b都是正數,則,當且僅當a=b時等號成立。

注：算 術 平 均 數——;幾何平均數——;調 和 平 均 數——;平方平均數——。

思維提煉：每一個鏈條都暗含著一個思考方向,每一個鏈條都暗含著做題時的一個思路和方法!

二、各鏈條間的靈活運用

(一)積與和的關系鏈

例1已知正數x、y滿足2y+x+2x y=8,求x+2y的最小值。

解析：由已知條件分解得：(x+1)(2y+1)=9,又x+2y=(x+1)+(2y+1)-2≥-2=4,當且僅當x+1=2y+1時取等號。

例2設x＞0,y＞0,3x+y=5,則的最小值為。

解析：因為3x+y=5,所以3(x+1)+y=8。因為x+1＞0,y＞0,所以[3(x+1)+y]=,當且僅當,即x=,y=4時,等號成立,故的最小值為。

例3若實數a,b,c∈R+,且a b+a c+b c+25=6-a2,則2a+b+c的最小值為( )。

解析：因為所以,所以2a+b+c=(a+c)+(a+b)≥2,當且僅當a+c=a+b時,等號成立。故應選D。

(二)積與平方和的關系鏈

例4已知x,y,z為正實數,則的最大值是( )。

解析：由于求的是最大值且x,y,z為正實數,由得當且僅當時,等號成立,故選B。

例5已知圓O的半徑為1,A,B,C,D為該圓上四個點,且,則△A B C的面積最大值為( )。

解析：因為,所以四邊形A B D C為平行四邊形,又因為點A、B、C、D都在圓上,所以A D、B C必為圓的直徑,∠A C D=∠B A C=90°,四邊形A B D C為矩形,A D=2,|A C|2+|A B|2=|A D|2=4,=1,當且僅當|A C|=|A B|時取等號,故選B。

例6設x≥0,y≥0,1,則的最大值為。

解析：因為x≥0,y≥0,,所以,當且僅當時,x取得最大值。

(三)平方和與和的關系鏈

例7若點P為圓x2+y2=1上的一個動點,點A(-1,0),B(1,0)為兩個定點,則|P A|+|P B|的最大值為( )。

解析：因為∠A P B=90°,所以|P A|2+|P B|2=4。

故|P A|+|P B|≤22。應選B。

例8設區域G={(x,y)|x2+y2-4y+2≤0},P(x,y)是區域G內的任意一點,則的取值范圍是( )。

解析：由題意知G={(x,y)|x2+y2-4y+2≤0}={(x,y)|x2+(y-2)2≤2},又(當x=y時等號成立),則,即·,所以。又由線性規劃,對于G中的點,知x+y≥0,則=1,又當x=-1,y=1時,x+y=0,即=0,故其取值范圍為[0,1]。故應選C。

小試牛刀：

1.若0＜x＜1,則的最小值為( )。

A.24 B.26 C.25 D.1

2.設x＞0,y＞0且x+y=4,則的最小值是( )。

3.已知對于任意的x∈(1,+∞)恒成立,則( )。

A.a的最小值為-3

B.a的最小值為-4

C.a的最大值為2

D.a的最大值為4

4.已知a,b均為正數,且a b-a-2b=0,則的最小值為

5.若a＞b＞0,求a2+的最小值。

小試牛刀答案與提示：

1.C

2.A 提示：因為x+y=4,所以(x+1)+(y+2)=7。

3.A 提示：因為x∈(1,+∞),所以x-1＞0,x＞0。不等式+1可化為a2+2a+2≤x,即a2+2a+2≤+x-1+1,因為+x-1+1≥2+1=5,當且僅當即x=3時,上式取“=”號,所以a2+2a+2≤5,解得-3≤a≤1。故選A。

4.7 提示：a b-a-2b=0?=1,所以≥2+2=4(當且僅當a=2b時取等號)。

5.由題意得當且僅當b=a—b且a=,即a=2b=22時取等號,故的最小值為16。