鄰近強干擾下波達方向的梯度下降估計算法＊

侍昌發，李 輝

（中國科學院無線光電通信重點實驗室，中國科學技術大學信息科學技術學院，安徽 合肥230026）

0 引言

陣列信號處理是信號處理領域的重要分支，在雷達、通信、射電天文以及生物醫學工程等領域有廣泛應用，波達方向（DOA）估計［1］作為陣列信號處理中的一個關鍵問題，一直受到廣泛關注。常規的DOA估計問題中，陣列接收的各信號源功率相當，多重信號分類（MUSIC）空間譜估計方法［2］突破瑞利限，實現了對來波方向的高分辨率估計。然而在一些特殊場景中，目標信號的DOA估計極易受到鄰近強干擾信號的影響，尤其當目標信號與干擾信號的來波方向相距小于半波瓣寬度時，MUSIC類子空間分解處理等傳統算法難以對目標信號的DOA進行有效估計。

針對強干擾下目標信號的來波方向估計問題，在強干擾信號方位信息未知的情況下，Li等人提出的RELAX 算法［3－5］和 Tsao等人提出的 CLEAN 算法［6］將陣列接收到的信號分離為多路數據塊，根據每路數據塊中包含的入射信號信息得到各個入射信號的波達方向估計。上述2種算法都需要迭代計算和搜索處理，運算復雜度非常高，尤其是存在多個信號且信號方位間隔較小時，RELAX算法收斂速度慢。陳輝、蘇海軍提出一種干擾阻塞算法，也就是JJM算法［7］，利用已知的干擾方位信息構造阻塞變換矩陣，通過對陣列輸出數據進行處理實現對干擾抑制，然后利用空間譜算法對目標信號進行DOA估計。JJM算法的估計性能較好，但該算法只適用于均勻線陣，并且需要已知強干擾信號的波達方向信息。文獻［8］通過構造擴展的噪聲子空間，利用MUSIC方法有效抑制干擾，得到弱信號的DOA的準確估計。該算法無需已知強干擾信號的方向信息，且運算量與MUSIC方法相當。以上方法的主要思想都是先利用陣列信號處理方法抑制強干擾信號，然后利用MUSIC等常規方法來對弱目標信號進行DOA估計。本文將利用斜投影技術，設計梯度下降方法迭代估計強干擾信號和目標信號的波達方向。

斜投影是一種特殊的投影方法，常被用于干擾抑制和信號分解。文獻［9］提出一種基于空間斜投影的寬帶波達方向估計算法，利用斜投影［10－14］技術分離不同的相干組信號，解決了寬帶多相干組信號條件下傳統聚焦類算法性能下降的問題。文獻［15］針對來波信號功率不同情形下的DOA估計問題，構建廣義斜投影算子自適應抑制接收數據中的非期望信號，平衡強弱信號的空間譜峰，再以MUSIC方法對目標信號進行DOA估計。該算法對弱信號的DOA估計具有高分辨率與強魯棒性的特點，但運算復雜度較高。

在一些應用場景如雷達對抗、通信對抗中，若待估計目標信號部分先驗知識如相關特性已知，則這些信息可以用于干擾信號與目標信號波達方向的聯合估計，從而提高目標信號的DOA估計性能。針對這些場景，本文將斜投影的思想用于分離非正交的干擾信號與目標信號，基于干擾信號與目標信號的功率差異和目標信號的相關特性，利用梯度下降方法實現一種低復雜度的DOA迭代估計算法。該算法可以在干擾信號DOA信息未知的情況下，完成鄰近強干擾下的目標信號DOA估計。

1 問題模型

為了簡化天線陣列分析，本文假設各信源信號為遠場窄帶信號，互相獨立；接收端噪聲為統計獨立的復高斯隨機過程，與信源獨立；信號數目小于天線陣元數目；忽略陣元之間的互耦。

假設天線陣由M 個全向天線組成，遠場存在N（N＜M）個信號源，整個天線陣列接收到的快拍數據為［16］：

式中，X為M×K 維復矩陣，是K 個快拍采樣下陣列接收到的M 路復信號矢量；A＝［a（θ1），a（θ2），…，a（θN）］為M×N 維陣列流形矩陣，a（θn）是波達方向為θn的第n個來波信號導向矢量（n＝1，2，…，N）；Z為N×K維復矢量，是N 個來波信號的復矢量；Q為M×K維觀測噪聲復矢量。

上述模型中，來波中的目標信號在一些特殊場景中往往已知一些先驗信息，如雷達對抗場景下的雷達信號DOA估計。接收到的雷達信號波形由于經過傳播路徑和目標反射已經有了幅度和相位上的改變，但接收信號與發射信號間的相關特性依然被保留下來，可以作為先驗信息。本文在已知陣列形式以及目標信號相關信息的條件下，就式的模型展開討論，對目標信號的來波方向進行估計。

2 斜投影方法

式中，AH表示矩陣A的共軛轉置；是以Range（B）的正交補空間為值空間的正交投影：

類似的可以定義以Range（B）為值空間且零空間包含Range（A）的斜投影算子為EBA。與正交投影算子相比，斜投影算子滿足冪等特性，但不一定滿足復共軛對稱特性。

斜投影算子EAB有如下特性：

3 鄰近強干擾下的波達方向估計

投影是從向量空間映射到自身的一種線性變換，正交投影是指值空間與零空間相互正交的投影。在陣列信號處理中，通常情況下信號與干擾之間夾角較大，多維空間中可以認為它們是近似正交的，利用正交投影就可以得到目標信號的精確估計。而在某些場景中干擾信號與目標信號之間夾角很小，兩者之間的正交性假設不再成立，正交投影下的估計性能下降；不同于正交投影，斜投影的值空間與零空間可以是非正交的，因此可以用于分離夾角很小的干擾信號與目標信號。

令行數相同的滿秩矩陣A和B分別張成子空間Range（A）和子空間Range（B）。矩陣［A B］列滿秩，且矩陣A和B張成的子空間不相交，即Range（A）∩Range（B）＝，定義以Range（A）為值空間，且零空間包含 Range（B）的斜投影算子為［17］：

本文研究的場景中，干擾信號與目標信號波達方向夾角小，兩者之間的功率差大，目標信號的相關特性已知。首先假設目標信號和干擾信號的來波方向已知，給出利用斜投影分離干擾信號和目標信號的方法，然后利用功率信息和相關信息構建干擾信號和目標信號DOA估計的迭代算法。

3.1 目標信號和干擾信號的分離

為不失一般性，首先研究一組鄰近強干擾信號與目標信號的分離問題，此時2個信號的波達方向相距較近（夾角Δθ小于波瓣寬度φ的一半），可以將問題模型簡化為：

式中，X為M×K 維陣列接收信號復矢量；z1、z2為1×K維復矢量，分別表示目標信號與干擾信號；h、s為M×1維復矢量，分別表示目標信號與干擾信號的導向矢量，其中包含目標信號與干擾信號的波達方向信息，若目標信號與干擾信號的波達方向估計分別為和，則可計算分別為＝a）和＝a）；Q為M×K維噪聲復矢量，考慮K個快拍采樣。

將式（7）模型與斜投影方法結合，構造以目標信號導向矢量張成的子空間Range（h）為值空間，零空間包含干擾導向矢量張成的子空間Range（s）的斜投影算子：

式中，h表示矩陣h的偽逆。類似的，可以得到以斜投影算子Esh表示的干擾信號的估計為：

3.2 干擾信號和目標信號的DOA估計

在干擾信號和目標信號方向未知的情況下，首先利用干擾信號與目標信號的大功率差特性，估計干擾信號的來波方向，然后利用斜投影在干擾信號的零空間上估計目標信號的來波方向，如此反復迭代依次估計干擾信號和目標信號的來波方向，最終得到目標信號DOA估計。

在獲得干擾信號的DOA估計后，利用斜投影算子可以在干擾信號的零空間中搜索目標信號的來波方向。根據已知的目標信號的相關特性，可以構造一個與之高度相關的參考信號r。在目標信號入射角度范圍區間中，根據干擾信號DOA估計值＾θ2和一組待搜索的目標信號方向，通過式（8）構造一組斜投影算子，并根據式（9）得到目標信號的估計，將其與參考信號r做相關計算（如相關系數等），當估計值與真實值θ1相同時，斜投影算子的值空間與目標信號導向矢量張成的子空間一致，目標信號估計性能最好，相關系數達到最大。因此，當目標信號估計與參考信號的相關性最大時，對應的即為目標信號來波方向的精確估計。

根據上述思想，可以使用角度搜索的方法實現上述算法：

首先根據MUSIC算法，以step1為步長粗略估計干擾信號的來波方向為，然后以干擾信號 DOA估計精度值為步長使遍歷［－2step1，＋2step1］，得到干擾信號DOA估計值；以step2為步長使遍歷－φ＋φ］得到目標信號 DOA 估計值）。

3.3 梯度下降算法

角度搜索方法實現簡單，但復雜度較高，針對其計算復雜度高的缺點，本節使用梯度下降方法實現3.2節中的DOA估計算法。將干擾信號和目標信號的DOA估計建模為下面的優化問題：

式中，d 為陣元間距，λ 為入射信號波長，v＝［0，1，2，...，M－1］T。式（11）中的目標函數可以寫為：

求解式（15）在θ2處的梯度：

式中，

式中，η2為更新步長，梯度sgn（f2（θ2））的符號確定調整方向。仿真實驗表明可以快速收斂到最優值，當其經過最優點時，相鄰迭代間的差值會改變符號，即，此時干擾信號的DOA估計達到最優。

以相關系數作為信號之間相關性計算函數，為方便梯度求解，式（12）中以相關系數的模平方作為目標函數，根據相關系數的求解方式可以將式（12）改寫為：

式中，cov（x，y）表示x 與y 的協方差，var（x）表示x的方差，（x）＊表示x 的共軛，q＝hEhsX。求解式（22）在θ1處的梯度：

式（23）中的d q／dθ1展開為下面的形式：

對于目標信號DOA估計值＾θ1采用標準梯度下降算法迭代更新，即：

2）由式（21）更新＾θ2（k2）；

4 仿真實驗

本文針對以下場景進行仿真實驗：線性調頻信號（目標信號）與高斯信號（強干擾）入射到均勻線陣，在

首先討論本文算法的可區分角度間隔下界及不同算法中目標信號與干擾信號的角度間隔對算法性能的影響，給出基本仿真參數：陣元數為16，陣元間距為半波長，信干比SIR＝ －40dB，信噪比SNR＝10dB，快拍數K＝800，目標信號1的入射角度為2°，目標信號2的入射角度為20°，干擾信號的入射角度以不同的間隔分別取 為（2.5°，2.6°，2.7°，2.8°，2.9°，3°，3.5°，…，9.5°，10°），即干擾信號與目標信號之間的角度間隔為（0.5°，0.6°，0.7°，0.8°，0.9°，1°，1.5°，…，7.5°，8°）。圖1給出不同算法在不同角度間隔下多目標信號DOA估計性能，隨著角度間隔減小，三種算法中鄰近干擾信號的目標信號1的DOA估計性能降低，而目標信號2的DOA估計精度更高，并且性能保持不變。當RMSE值大于角度間隔，可以認為算法難以區分目標信號與干擾信號，由圖1中可以看出0.8°約為本文算法可區分目標信號與干擾信號的角度間隔下界，而另2種算法在小角度間隔情況下估計性能較差。由于目標信號2的DOA估計性能基本不受角度間隔影響，下面主要針對鄰近干擾信號的目標信號1進行DOA估計性能的仿真實驗與討論。從圖1中可以發現，隨著角度間隔增大，三種算法的估計性能越來越好。分析可知，隨著夾角增大，強干擾信號對鄰近的目標信號的影響逐漸減小，對于本文算法，目標信號估計中干擾信號的殘留減少，目標信號估計與參考信號的相關性計算結果更好；MUSIC算法中干擾信號譜峰對目標信號譜峰的壓制影響減小；RELAX算法每次迭代過程中強干擾信號對目標信號波形估計影響減小，目標信號DOA估計性能提高。其次，在夾角小于4°（約為該天線陣列波瓣寬度的1／2）時，本文算法對目標信號的估計性能明顯優于MUSIC算法和RELAX算法，MUSIC算法基本失去對目標信號的DOA估計能力，RELAX算法可以對目標信號DOA進行估計，但效果一般；在夾角較大時，本文算法與MUSIC算法對目標信號的估計性能相當，略優于RELAX算法的估計性能。背景噪聲的影響下接收到混合信號。仿真中采用多次蒙特卡羅實驗結果所得的均方根誤差來評定算法的性能，由于對強干擾波達方向可以實現高分辨率估計，本文主要分析弱目標信號的DOA估計結果。波達方向的均方根誤差（RMSE）定義為：

圖1 目標信號DOA估計性能隨角度間隔變化曲線

接下來討論信噪比對算法性能的影響，給出基本仿真參數：陣元數為16，陣元間距為半波長，信干比SIR取－20dB和－40dB，快拍數K＝800，角度間隔Δθ＝4°，信噪比SNR取0～20dB。需要說明的是，這里設置角度間隔為4°，可以保證MUSIC算法對目標信號的DOA進行有效估計。圖2給出不同信干比情況下目標信號DOA估計性能隨信噪比變化曲線圖，從圖2中可以發現，在不同信干比情況下，隨著信噪比的增大，三種算法的性能都會提高，其中MUSIC算法的增長幅度最為顯著。其次，在該場景中設置性能要求曲線（RMSE＝1°），發現三種算法滿足性能要求的最低信噪比分別約為2dB、6dB和10dB，本文所提算法對信噪比要求最低，MUSIC算法對信噪比的要求最高，其中RELAX算法對信噪比的要求隨著信干比增大有略微的降低。當信噪比小于12dB時，本文算法對目標信號的DOA估計性能是最優的。

圖2 目標信號DOA估計性能隨信噪比變化曲線

最后討論信干比對算法性能的影響，給出基本仿真參數：陣元數為16，陣元間距為半波長，信噪比SNR取10dB和20dB，快拍數K＝800，角度間隔Δθ＝4°，信干比SIR取－40～－20dB。圖3給出不同信噪比情況下目標信號DOA估計性能隨信干比變化曲線圖，從圖3中可以發現，在不同的信噪比情況下，本文研究的問題場景中信干比對本文算法與MUSIC算法的目標信號的DOA估計性能影響不大，隨著信干比增大算法性能在小范圍內波動，且估計性能優于RELAX算法；而RELAX算法對信干比敏感，在信干比較低時目標信號的DOA估計性能較差。

圖3 目標信號DOA估計性能隨信干比變化曲線

實驗中還對本文提出的梯度下降算法與MUSIC算法的運算量進行了比較，由于乘法運算量遠大于加法，因此這里只考慮乘法運算。對于M 個陣元，進行K次快拍積累的場景，兩者均存在的特征分解部分相同，且特征分解部分相比于迭代過程的運算量較少，因此不做考慮。MUSIC算法的譜峰搜索，范圍為［－90°，90°］，每步乘法次數均約為2 M2，在搜索步長為1／I度（保證精度要求，I≥100）的情況下，總運算量為360 M2I。而梯度下降算法分為干擾信號與目標信的迭代估計，每次迭代的乘法次數為2 MK＋M3＋10 M2、2 MK＋M3＋9 M2＋5 K，平均迭代次數分別為25和15，總運算量為80 MK＋40 M3＋385 M2＋75 K。

圖4給出陣元數為16時運算復雜度隨快拍數變化曲線圖，圖5給出快拍數為800時運算復雜度隨陣元數變化曲線圖。從圖4、圖5中可以發現，本文算法的運算復雜度隨快拍數和陣元數增大而變高；MUSIC算法的運算復雜度隨快拍數增大保持不變，隨陣元數增大而變高，且通過對比可以發現本文的梯度下降算法的運算復雜度遠小于MUSIC算法。

圖4 運算量隨快拍數變化曲線圖

圖5 運算量隨陣元數變化曲線圖

5 結束語

本文針對目標信號鄰近方向存在強干擾的情況，利用斜投影方法，提出一種基于梯度下降的DOA估計算法。仿真結果表明，本文算法實現了強干擾小角度間隔下目標信號的準確估計，其性能明顯優于MUSIC算法與RELAX算法。并且相比于MUSIC算法，該算法具有較低的運算復雜度。■