基于數形結合思想的高中解題策略

芮欣妍

(江蘇省揚州中學教育集團樹人學校 225001)

華羅庚曾說：“數形結合百般好，隔裂分家萬事休.”數與形從兩個方面對數學知識進行描述和反映，數與形之間具有一一對應的關系.數形結合思想是一種重要的數學思想，尤其是在高中數學知識的學習和問題的解決過程中，科學地運用數形結合思想可以將數學的抽象語言、符號與幾何直觀的圖形聯系在一起，這樣可以降低我們學習的難度，讓我們更好地理解數學知識內涵，并能運用數學思想進行實際問題的解決.

一、數列與數形結合

數列是高中數學知識的重要組成部分，同時數列也可以歸為函數的一種特例.在數列學習的過程中，常規的方法一般是用代數的方法進行分析和解決.如果在進行數列知識學習和問題分析的過程中，運用數形結合思想，將數列和幾何圖形建立對應的關系，往往可以起到事半功倍的效果.比如運用數形結合思想對下面的試題進行分析.

例1 已知等差數列an的前n項和為Sn，其中a1>0，3a8=5a13，那么，Sn最大的時候是( ).

A.S21B.S20C.S11D.S10

分析根據a1>0，3a8=5a13可以知道這個等差數列為遞減數列，那么常規的方法需要求出等差數列第一個為負數的項，這樣才能確定Sn的最大值，不僅計算麻煩，也不直觀.而運用數學結合思想，可以通過3a8=5a13，作出等差數列的直線圖形(如右圖)，然后根據相似三角形的知識可以求得直線與x軸的交點，從而直觀地得出所要求的答案.

在數列的學習中，等差數列的項一般分布在一條直線上，等比數列的項分布在指數函數圖象上，我們在學習的過程中，通過數列和函數圖象之間的對應關系進行實際問題的分析，不僅能提高學習效率，同時也能增強思維能力，提高運用數學思想的意識.

二、集合與數形結合

在高中數學集合知識中運用數形結合思想，可以將集合抽象的代數形式轉化為直觀的集合圖形，從而提高集合知識的直觀性.運用數形結合思想進行集合問題的分析，可以將集合中的數量關系轉化為幾何圖形，并且通過方程將二者對應起來，這樣對于一些比較復雜的集合問題的解決具有良好的效果.

例2 已知集合A=(x,y)x2+y2=1，B=(x,y)kx-y-2≤0，且x,y∈R，那么A?B的時候，實數k的取值范圍是多少？

分析根據題意可知，集合A為一個圓形，并且位置固定，而集合B是一條過點(0，-2)的直線，當A?B的時候，就需要考慮集合B直線的范圍，如果運用數形結合思想作出集合的圖象，問題就一目了然了.

三、三角函數與數形結合

三角函數是高中學習的重點，同時也是高考的難點，通常情況下，通過數形結合思想的運用可以有效地解決三角函數的值域、證明等問題.將復雜的三角函數運用代數的方法構造出新的函數，然后轉化為幾何圖形，可以有效地提高問題的解決效率，達到出奇制勝的目的.

分析本題如果對三角函數直接進行計算，不僅復雜，運算量大，同時也不一定能夠計算出來，因此可以構造兩個函數，令f(x)=sinx+cosx，g(x)=tanx，然后再作出這兩個函數的圖象，通過圖象上的交點可以輕松地解答問題.

總之，在高中數學的學習中進行數學思想的運用，可以有效地掌握數學規律，深入到數學知識的內部，從而提高學習效率.數形結合思想是我們高中生必須要掌握的一種數學思想方法，不僅是在數學問題的探究中具有重要的作用，同樣對于我們以后的數學學習和發展也具有重要的意義.因此，我們要在數學實際問題的分析和探究中，有效地運用數形結合思想，提高學習效率.